摘要：如图所示.在三棱柱ABC-A1B1C1中.AB⊥侧面BB1C1C.E为棱CC1上异于C.C1的一点.EA⊥EB1.AB=.BB1=2.BC=1.∠BCC1=.求:(1)异面直线AB与EB1的距离,(2)二面角A-EB1-A1的平面角的正切值. 解 (1)AB⊥面BB1C1C.故AB⊥BE. 又BE1⊥EA.且EA在面BCC1B1内的射影为EB. 由三垂线定理的逆定理知EB1⊥BE. 因此BE是异面直线AB与EB1的公垂线. 在平行四边形BCC1B1中, 设EB=x,则EB1=. 作BD⊥CC1,交CC1于D,则BD=BC·sin.在△BEB1中.由面积关系得 即(x22-1)(x2-3)=0.解之得x=±1,x=±. 当x=时.在△BCE中.CE2+12-2CE·cos=3.解之得CE=2, 故此时E与C1重合.由题意舍去x=.因此x=1.即异面直线AB与EB1的距离为1. (2)过E作EG∥B1A1.则GE⊥面BCC1B1, 故GE⊥EB1.且GE在面A1B1E内.又已知AE⊥EB1. 故∠AEG是二面角A-EB1-A1的平面角. 因为EG∥B1A1∥BA.∠AEG=∠BAE. 故tan∠AEG=tan∠BAE=.

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