Question

如图所示，在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝AC＝，侧棱AA₁与底面ABC成60°角，∠BAA₁＝∠CAA₁，BC＝AA₁＝2，又点M是BC的中点，点O是AM的中点．

(1)求证：A₁O⊥平面ABC；

(2)求二面角A₁－AC－B的大小；

(3)求点B到平面C₁AM的距离．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：A1在底面ABC上的射影H必在∠BAC的平分线AM上， 　　H为AM的中点， 　　即H与O重合，故A1O⊥平面ABC；　　4分 　　(2)如图，过O作ON⊥AC于N，连A1N，由三垂线定理知 　　∠ONA1就是二面角A1－AC－B的平面角， 　　在Rt△ONA1中，ON＝， 　　 　　(3)如图，过C作CP∥AM，且CP＝AO，延长AM至Q， 　　使MQ＝AO，连PQ，则平行四边形PQMC，则点B到平面C1AM的距离＝点C到平面C1AM的距离＝点P到平面C1AM的距离d， 　　 　　PQ⊥平面C1AM，又PQ平面C1PQ， 　　平面C1PQ⊥平面C1AM， 　　过P作PS⊥C1Q于S，则PS⊥平面C1AM， 　　即PS就是点P到平面C1AM的距离d， 　　在△C1PQ中， 　　．　　12分 　　故点B到平面C1AM的距离为． 　　(第(2)(3)问用向量坐标法按相应步骤给分)