摘要：22．已知定点C及椭圆x2+3y2=5,过点C的动直线与椭圆相交于A.B两点. (1)若线段AB中点的横坐标是-.求直线AB的方程, (2)在x轴上是否存在点M.使为常数?若存在.求出点M的坐标,若不存在.请说明理由. 解 (1)依题意.直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为y=k(x+1), 将y=k(x+1)代入x2+3y2=5, 消去y整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0. ----2 分 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则 ----4分 由线段AB中点的横坐标是-. 得=-=-,解得k=±.适合①. -----6分 所以直线AB的方程为x-y+1=0,或x+y+1=0.------7分 (2)假设在x轴上存在点M(m.0).使为常数. (ⅰ)当直线AB与x轴不垂直时.由(1)知 x1+x2=-,x1x2=. ③ 所以=(x1-m)(x2-m)+y1y2 =(x1-m)(x2-m)+k2(x1+1)(x2+1) =(k2+1)x1x2+(k2-m)(x1+x2)+k2+m2. ----9分 将③代入.整理得 =+m2 =+m2 =m2+2m--. ------11分 注意到是与k无关的常数.从而有 6m+14=0.m=-.此时=. ------12分 (ⅱ)当直线AB与x轴垂直时. 此时点A.B的坐标分别为 .. 当m=-时.亦有=. 综上.在x轴上存在定点M.使为常数. ----14分

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