Question

.（本小题满分14分）
已知圆M：及定点，点P是圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足
（1）求点G的轨迹C的方程；
（2）过点K（2，0）作直线与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设是否存在这样的直线使四边形OASB的对角线相等？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）由为PN的中点，且是PN的中垂线，
，
∴＞＞……………………（4分）
∴点G的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，又
∴………………………………………………………………（6分）
（2）∵.四边形OASB为平行四边行，假设存在直线1，使
四边形OASB为矩形若1的斜率不存在，则1的方程为
由＞0.这与相矛盾，
∴1的斜率存在.……………………………………………………………………（8分）
设直线1的方程

消去y

       

∴…………………………………………（10分）
∴
由∴…（13分）
∴存在直线1：或满足条件.…………………（14分）

略