(08年海淀区期中练习理)（14分）

设数列的前项和为，已知

（Ⅰ）求证：数列为等差数列，并分别写出和关于的表达式；

（Ⅱ）求；

（Ⅲ）是否存在自然数，使得?若存在，求的值；若不存在，说明理由.

设数列的前项和为，已知(n∈N*)．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求证：当x>0时，

（Ⅲ）令，数列的前项和为．利用（2）的结论证明：当n∈N*且n≥2时，.

（本小题满分12分）设数列的前项和为，已知， (为常数,)，且成等差数列.

(1) 求的值；  

(2) 求数列的通项公式；

(3) 若数列 是首项为1，公比为的等比数列，记

.求证： ，（）.

设数列的前项和为，已知，且

，

其中为常数.

(Ⅰ)求与的值；

(Ⅱ)证明：数列为等差数列；

(Ⅲ)证明：不等式对任何正整数都成立.

（本小题满分16分）

设数列的前项和为，已知（）．

（1）求的值；

（2）求证：数列是等比数列；

（3）抽去数列中的第1项，第4项，第7项，……，第项，……，余下的项顺序不变，组成一个新数列，若的前项的和为，求证：．