Question

设数列的前项和为，已知，且

，

其中为常数.

(Ⅰ)求与的值；

(Ⅱ)证明：数列为等差数列；

(Ⅲ)证明：不等式对任何正整数都成立.

Answer 1

，.

解析:

解：（Ⅰ）由已知，得，，.

由，知

            即

解得    ，.

（Ⅱ）方法1

由（Ⅰ），得  ，             ①

所以         .           ②

②-①，得    ，    ③

所以         .   ④

④-③，得    .

因为         ，

所以         .

又因为       ，

所以         ，

即           ，.

所以数列为等差数列.

方法2

由已知，得，

又，且，

所以数列是唯一确定的，因而数列是唯一确定的.

设，则数列为等差数列，前项和.

于是   ，

由唯一性得   ，即数列为等差数列.

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，.

要证       ，

只要证     .

因为       ，，

故只要证   ，

即只要证   .

因为      

          

，

所以命题得证.