摘要：某城市有一条公路.自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB.现要修建一条铁路L.L在OA上设一站A.在OB上设一站B.铁路在AB部分为直线段.现要求市中心O与AB的距离为10 km.问把A.B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离. 解:在△AOB中.设OA=a.OB=b. 因为AO为正西方向.OB为东北方向.所以∠AOB=135°. 则|AB|2=a2+b2-2abcos135°=a2+b2+ab≥2ab+ab=(2+)ab.当且仅当a=b时.“= 成立.又O到AB的距离为10.设∠OAB=α.则∠OBA=45°-α.所以a=.b=. ab=· = = = =≥. 当且仅当α=22°30′时.“= 成立. 所以|AB|2≥=400(+1)2. 当且仅当a=b.α=22°30′时.“= 成立. 所以当a=b==10时.|AB|最短.其最短距离为20(+1).即当AB分别在OA.OB上离O点10 km处.能使|AB|最短.最短距离为20(-1). ●思悟小结

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