摘要：若=2,则a= . 解析: =2, ∴=2.∴a=4. 答案:4 ●典例剖析 [例1]求下列各极限: (1) (, (2)(-x), (3) , (4) 剖析:若f (x)在x0处连续.则应有f (x)=f (x0),故求f (x)在连续点x0处的极限时.只需求f (x0)即可,若f (x)在x0处不连续.可通过变形.消去x-x0因式.转化成可直接求f(x0)的式子. 解:(1)原式＝＝=-. (2)原式==a+b. (3)因为=1,而==-1. ≠, 所以不存在． (4)原式=＝(cos+sin)＝. 思考讨论 数列极限与函数极限的区别与联系是什么? [例2] (1)设f(x)=; (2)f (x)为多项式,且=1,=5,求f(x)的表达式. 解:(1) f (x)= (2x+b)=b,f(x)= (1+2x)=2, 当且仅当b=2时, f (x)= f (x), 故b=2时,原极限存在. (2)由于f(x)是多项式,且=1, ∴可设f (x)=4x3+x2+ax+b(a.b为待定系数). 又∵=5, 即(4x2+x+a+)=5, ∴a=5,b=0,即f (x)=4x3+x2+5x. 评述:(1)函数在某点处有极限,与其在该点处是否连续不同. (2)初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值,也就是对初等函数而言,求极限就是求函数值,使极限运算大大简化. [例3] 讨论函数f (x)= ·x (0≤x＜+∞)的连续性.并作出函数图象. 部析:应先求出f (x)的解析式.再判断连续性. 解:当0≤x＜1时.f (x)= x=x; 当x＞1时.f (x)= ·x=·x=-x; 当x=1时.f (x)=0. ∴f (x)=[i] ∵f(x)=(-x)=-1,f(x)= x=1, ∴f(x)不存在. ∴f (x)在x=1处不连续.f (x)在定义域内的其余点都连续. 图象如下图所示. 评述:分段函数讨论连续性.一定要讨论在“分界点 的左.右极限.进而判断连续性. ●闯关训练 夯实基础

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