（2012•浦东新区一模）设函数T(x)=

2x，  0≤x＜ 1 2 2(1-x)，   1 2 ≤x≤1

（1）求函数y=T（sin（

π

2

x））和y=sin（

π

2

T（x））的解析式；
（2）是否存在非负实数a，使得aT（x）=T（ax）恒成立，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（3）定义T_n+1（x）=T_n（T（x）），且T₁（x）=T（x），（n∈N^*）
①当x∈[0，

1

2n

]时，求y=T_n（x）的解析式；
已知下面正确的命题：当x∈[

i-1

2n

，

i+1

2n

]（i∈N^*，1≤i≤2ⁿ-1）时，都有T_n（x）=T_n（

i

2n-1

-x）恒成立．
②对于给定的正整数m，若方程T_m（x）=kx恰有2^m个不同的实数根，确定k的取值范围；若将这些根从小到大排列组成数列{x_n}（1≤n≤2^m），求数列{x_n}所有2^m项的和．

已知关于x的函数f(x)=-

1

3

x

3

+b

x

2

+cx+bc，其导函数f′（x）．
（1）如果函数f(x)在x=1处有极值-

4

3

，试确定b、c的值；
（2）设当x∈（0，1）时，函数y=f（x）-c（x+b）的图象上任一点P处的切线斜率为k，若k≤1，求实数b的取值范围．

选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C的参数方程为

x=sinα y=cos2α

，α∈[0，2π)，曲线D的极坐标方程为ρsin(θ+

π

4

)=

2

a．
（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；
（2）试确定实数a的取值范围，使曲线C与曲线D有公共点．