Question

选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C的参数方程为

x=sinα y=cos2α

，α∈[0，2π)，曲线D的极坐标方程为ρsin(θ+

π

4

)=

2

a．
（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；
（2）试确定实数a的取值范围，使曲线C与曲线D有公共点．

Answer 1

分析：（1）消掉参数α即可得到普通方程 x²+y=1，x∈[-1，1]，
（2）将ρsin（θ+

π

4

）=

2

a化为直角坐标方程x+y=2a，两曲线方程联立，得到

5

4

-2a=(x-

1

2

)2，利用x∈[-1，1]，可求得0≤(x-

1

2

)2≤

9

4

，从而可求得实数a的取值范围．

解答：解：（1）由

x=sinα y=cos2α

，α∈[0，2π）得 x²+y=1，x∈[-1，1]…（4分）
（2）由ρsin（θ+

π

4

）=

2

a，得曲线D的直角坐标方程为x+y=2a…（6分）
由 

x2+y=1 x+y=2a

得x²-x=1-2a，即  

5

4

-2a=(x-

1

2

)2…（8分）
∵x∈[-1，1]，故x-

1

2

∈[-

3

2

，

1

2

]，
∴0≤(x-

1

2

)2≤

9

4

，
∴0≤

5

4

-2a≤

9

4

，
故-

1

2

≤a≤

5

8

时曲线C与曲线D有公共点…（10分）

点评：本题考查参数方程化成普通方程，消参是关键，考查分析转化的能力，属于中档题．