Question

已知关于x的函数f(x)=-

1

3

x

3

+b

x

2

+cx+bc，其导函数f′（x）．
（1）如果函数f(x)在x=1处有极值-

4

3

，试确定b、c的值；
（2）设当x∈（0，1）时，函数y=f（x）-c（x+b）的图象上任一点P处的切线斜率为k，若k≤1，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）f′（x）=-x²+2bx+c，由题意可得

f′(1)=-1+2b+c=0 f(1)=- 1 3 +b+c+bc=- 4 3

，求得

b=1 c=-1

或

b=-1 c=3

，再验证即可；
（2）当x∈（0，1）时，函数y=f（x）-c（x+b）=-

1

3

x³+bx²，设图象上任意一点P（x₀，y₀），依题意可求得k=-x02+2bx₀≤1恒成立，x₀∈（0，1）．设g（x）=

x2+1

2x

，利用导数可得g（x）在区间（0，1）上单调递减，从而可求得实数b的取值范围．

解答：解：（1）f′（x）=-x²+2bx+c
∵函数f（x）在x=1处有极值-

4

3

∴

f′(1)=-1+2b+c=0 f(1)=- 1 3 +b+c+bc=- 4 3

（3分）
解得

b=1 c=-1

或

b=-1 c=3

（4分）
（i）当b=1，c=-1时，f′（x）=-（x-1）²≤0
所以f（x）在R上单调递减，不存在极值
（ii）当b=-1，c=3时，f′（x）=-（x+3）（x-1）
x∈（-3，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增
x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减
所以f（x）在x=1处存在极大值，符合题意．
综上所述，满足条件的值为b=-1，c=3（7分）
（2）当x∈（0，1）时，函数y=f（x）-c（x+b）=-

1

3

x³+bx²，
设图象上任意一点P（x₀，y₀），则k=y′|x=x0=-x02+2bx₀，x₀∈（0，1），
因为k≤1，
所以对任意x₀∈（0，1），=-x02+2bx₀≤1恒成立（9分）
所以对任意x₀∈（0，1），不等式b≤

x 2 0 +1

2x0

恒成立
设g（x）=

x2+1

2x

，则g′（x）=

(x-1)(x+1)

2x2

，
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0
故g（x）在区间（0，1）上单调递减
所以对任意x₀∈（0，1），g（x₀）＞g（1）=1（12分）
所以b≤1．（14分）

点评：本题考查函数在某点取得极值的条件，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查利用导数研究函数恒成立问题，着重考查分类讨论思想与化归思想的运用，属于难题．