已知定义在R上的函数f（x） 满足条件：（1）f（x）+f（-x）=2；（2）对非零实数x，都有2f（x）+f（

1

x

）=2x+

1

x

+3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=

f(x)2-2x

（x≥0）直线 y=

2

n-x分别与函数f（x） 的反函数 交于A，B两点
（其中n∈N*），设 a_n=|A_nB_n|，s_n为数列a_n 的前n项和．求证：当n≥2 时，总有 S_n²＞2（

s2

2

+

s3

3

+…+

sn

n

）成立．

已知函数f（x）满足2f（x）+f（-

1

x

）=6x-

3

x

，对任意x≠0恒成立，在数列{a_n}，{b_n} 中，a₁=1，b₁=1，对任意n∈N₊，a_n+1=

f(an)

2f(an)+3

，bn+1-bn=

1

an

（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（3）若对任意实数λ∈[0，1]总存在自然数k，当n≥k时，b_n≥

1-λ

3

f（

1

an

）恒成立，求k的最小值．

（2012•汕头一模）已知向量

m

=(-2sin(π-x)，cosx)，

n

=(

3

cosx，2sin(

π

2

-x))，函数f(x)=1-

m

•

n

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[0，π]时，求f（x）的单调递增区间；
（3）说明f（x）的图象可以由g（x）=sinx的图象经过怎样的变换而得到．

（2009•嘉定区一模）（理）已知函数f(x)=log2

2 x

1-x

，P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）是f（x）图象上两点．
（1）若x₁+x₂=1，求证：y₁+y₂为定值；
（2）设Tn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)，其中n∈N*且n≥2，求T_n关于n的解析式；
（3）对（2）中的T_n，设数列{a_n}满足a₁=2，当n≥2时，a_n=4T_n+2，问是否存在角a，使不等式(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)…(1-

1

an

)＜

sinα

2n+1

对一切n∈N*都成立？若存在，求出角α的取值范围；若不存在，请说明理由．