Question

已知函数f（x）满足2f（x）+f（-

1

x

）=6x-

3

x

，对任意x≠0恒成立，在数列{a_n}，{b_n} 中，a₁=1，b₁=1，对任意n∈N₊，a_n+1=

f(an)

2f(an)+3

，bn+1-bn=

1

an

（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（3）若对任意实数λ∈[0，1]总存在自然数k，当n≥k时，b_n≥

1-λ

3

f（

1

an

）恒成立，求k的最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知中2f（x）+f（-

1

x

）=6x-

3

x

可得：2f（-

1

x

）+f（x）=-6×

1

x

+3x，消去f（-

1

x

）可得函数f（x）的解析式；
（2）由a_n+1=

f(an)

2f(an)+3

变形可得

1

an+1

-

1

an

=2，可求出数列{

1

an

}的通项公式，进而求出数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（3）若对任意实数λ∈[0，1]总存在自然数k，当n≥k时，b_n≥

1-λ

3

f（

1

an

）恒成立，则

n2-2n+2

2n-1

≥1-λ对任意实数λ∈[0，1]恒成立，即

n2-2n+2

2n-1

≥1，解不等式可得满足条件的n值．

解答：解：（1）∵函数f（x）满足2f（x）+f（-

1

x

）=6x-

3

x

，…①
∴2f（-

1

x

）+f（x）=-6×

1

x

+3x  …②
由①②得f（x）=3x（x≠0）…（3分）
（2）∵a_n+1=

f(an)

2f(an)+3

=

an

2an+1

，
即a_n-a_n+1=2a_na_n+1，
∴

1

an+1

-

1

an

=2
又∵

1

a1

=1
∴数列{

1

an

}是以1为首项，d=2为公差的等差数列，
∴

1

an

=2n-1
∴a_n=

1

2n-1

 …（6分）
又∵bn+1-bn=

1

an

=2n-1
∴当n≥2时，b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=1+3+5+…+（2n-3）=n²-2n+2
当n=1时，n²-2n+2=1满足上式
故b_n=n²-2n+2 …（9分）
（3）∵b_n≥

1-λ

3

f（

1

an

）恒成立，
当n=1验证符合题意；
当n≥2时，

n2-2n+2

2n-1

≥1-λ对任意实数λ∈[0，1]恒成立，
∴只须

n2-2n+2

2n-1

≥1
解得n=1或n≥3
∴自然数k的最小值为3．…（12分）

点评：本题考查的知识点是数列与函数的综合，方程组法求函数的解析式，数列的通项公式，数列求和，恒成立问题，二次不等式，综合性强，运算强度大，属于难题．