题目内容
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的导函数为f′（x），且f（-x）=f（x），f（1）=1，f′（-1）=-2．数列{an}满足a1=1，且当n≥2，n∈N*时，an=n2[| 1 |
| f(1) |
| 1 |
| f(2) |
| 1 |
| f(n-1) |
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当n≥2且n∈N*时，比较
| 1+an |
| an+1 |
| f(n+1) |
| f(n) |
（3）比较（1+
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| an |
分析：（1）利用由f（-x）=f（x），有b=0，从而f（x）=ax2+c，f（1）=1，f′（-1）=-2，可求a、c的值，从而可求函数表达式；
（2）分别表示出分子、分母，进而可得
=
；
（3）将连乘积表示为（1+
）（1+
）（1+
）L（1+
）=
•
•
•
•
•an+1 =
=2(1+
+
)，再用裂项求和法，利用
＜
=
-
可得结论．
（2）分别表示出分子、分母，进而可得
| 1+an |
| an+1 |
| f(n) |
| f(n+1) |
（3）将连乘积表示为（1+
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| an |
| 1+a1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1+a2 |
| a3 |
| 1+a3 |
| a4 |
| 1+an |
| an+1 |
| 2an+1 |
| (n+1)2 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| n2 |
| 1 |
| n2 |
| 1 |
| n(n-1) |
| 1 |
| n-1 |
| 1 |
| n |
解答：解：（1）∵f（x）=ax2+bx+c，∴由f（-x）=f（x），有b=0，得f（x）=ax2+c．又f（1）=1，f′（-1）=-2，∴a+c=1，2a×（-1）=-2，∴a=1，c=0，∴f（x）=x2．
（2）∵f（n）=n2，∴an=n2[ 1+
+…+
)]．，∴1+an=n2[ 1+
+…+
)]，an+1=(n+1)2[ 1+
+…+
)]，∴
=
．
（3）由题意可得a2=4；当n=1时，有1+
=2＜4．当n≥2且n∈N*时，
（1+
）（1+
）（1+
）L（1+
）=
•
•
•
•
•an+1 =
=2(1+
+
)＜2[1+(1-
)+(
-
)+(
-
)]=4-
＜4（
＜
=
-
）
所以，对任意n∈N*有（1+
）（1+
）（1+
）L（1+
）＜4．
（2）∵f（n）=n2，∴an=n2[ 1+
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| (n-1)2 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| n2 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| n2 |
| 1+an |
| an+1 |
| f(n) |
| f(n+1) |
（3）由题意可得a2=4；当n=1时，有1+
| 1 |
| a1 |
（1+
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| an |
| 1+a1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1+a2 |
| a3 |
| 1+a3 |
| a4 |
| 1+an |
| an+1 |
| 2an+1 |
| (n+1)2 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| n2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n-1 |
| 1 |
| n |
| 2 |
| n |
| 1 |
| n2 |
| 1 |
| n(n-1) |
| 1 |
| n-1 |
| 1 |
| n |
所以，对任意n∈N*有（1+
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| an |
点评：本题考查数列与不等式的结合，考查裂项求和、放缩法，有一定的技巧．
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