摘要：已知是二次函数.不等式的解集是.且在区间上的最大值. (1)求的解析式, (2)是否存在自然数.使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根?若存在.求出所有的值,若不存在.请说明理由. 解:(1) (2)假设满足要求的实数存在.则.即有: .即有: 构造函数 画图分析: 进而检验.知,所以存在实数使得在区间内有且只有两个不等的实数根. 点评:本题关键是构造了函数.舍弃了原函数中分母问题得到了简化. 变式练习:设函数.求已知当时.恒成立.求实数的取值范围. (2)抓住常规基本函数.利用函数草图分析问题: 例: 已知函数的图像在点处的切线方程为 设 (1) 求证:当时.恒成立, (2) 试讨论关于的方程根的个数. 解证:(1) (2)方程从而 因为所以方程可变为 令.得: 当时.在上为增函数, 当时.在上为减函数, 当时. 又 所以函数在同一坐标系的大致图像如图所示 ① 当即时.方程无解, ② 当即时.方程一解, ③ 当即时.方程有2个根. 分析点评:一次函数.二次函数.指对数函数.幂函数.简单的分式根式函数.绝对值函数的图象力求清晰准确.一些综合性的问题基本上是这些函数的组合体.如果适当分解和调配就一定能找到问题解决的突破口.使问题简单化明确化. (3)复合函数问题一定要坚持定义域优先的原则.抓住函数的复合过程能够逐层分解. 例:已知函数在区间上单调递减.在区间上单调递增. (1) 求实数的值. (2) 若关于的方程有3个不同的实数解.求实数的取值范围. (3) 若函数的图像与坐标轴无交点.求实数的取值范围. 解:(1)利用 得: (2)因为 得 列表得 因此有极大值极小值作出的示意图. 如图: 因为关于的方程有3个不同 的实数解.令即关于的方程 在上有3个不同的实数解. 所以的图像与直线在 上有3个不同的交点. 而的图像与的图像一致.即 (3)函数的图像与坐标轴无交点.可以分以下2种情况: ①当函数的图像与轴无交点时.则必须有无解.而 函数的值域为所以 解得 ②当函数的图像与轴无交点时.则必须有不存在.即或.有意义.所以.解得. ③由函数存在.可知有解.解得.故实数的取值范围为 分析点评:复合函数尤其是两次复合.一定要好好掌握.构造两种函数逐层分解研究.化繁为简.导数仍然是主要工具.

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