Question

已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12.

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）是否存在自然数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的集合；若不存在，说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（I）

（II）存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根.

【解析】(I)是二次函数，且的解集是可设

因为f(x)的对称轴为,所以可确定在区间上的最大值是据此可得到关于a的方程，从而得到f(x)的解析式．

(II) 方程等价于方程设

然后再根据导数研究h(x)的单调性和极值，最值画出其草图从图上分析解决即可．

（I）是二次函数，且的解集是

可设在区间上的最大值是

由已知，得（4分）

（II）方程等价于方程

设则

当时，是减函数；

当时，是增函数.（8分）

方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间内没有实数根.  （11分）

所以存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根.（13分）