已知椭圆具有性质：若A是椭圆C的一条与x轴不垂直的弦的中点，那么该弦的斜率等于点A的横、纵坐标的比值与某一常数的积．试对双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1写出具有类似特性的性质，并加以证明．

（2004•宝山区一模）设直线2x-y+1=0与椭圆

x2

3

+

y2

4

=1相交于A、B两点．
（1）线段AB中点M的坐标及线段AB的长；
（2）已知椭圆具有性质：设A、B是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1上的任意两点，M是线段AB的中点，若直线AB、OM的斜率都存在，并记为k_AB，k_OM，则k_AB?k_OM为定值．试对双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1写出具有类似特性的性质，并加以证明．

设F₁、F₂分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点．
（1）若椭圆C上的点A（1，

3

2

）到F₁、F₂两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F₁K的中点的轨迹方程；
（3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM、k_PN时，那么k_PM与k_PN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1写出具有类似特性的性质，并加以证明．

已知椭圆具有性质：若A，B是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0且a，b为常数）上关于原点对称的两点，点P是椭圆上的任意一点，若直线PA和PB的斜率都存在，并分别记为k_PA，k_PB，那么k_PA与k_PB之积是与点P位置无关的定值-

b2

a2

．试对双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0且a，b为常数）写出类似的性质，并加以证明．