Question

已知椭圆具有性质：若A是椭圆C的一条与x轴不垂直的弦的中点，那么该弦的斜率等于点A的横、纵坐标的比值与某一常数的积．试对双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1写出具有类似特性的性质，并加以证明．

Answer 1

分析：涉及中点弦问题，可使用点差法解决，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），中点为A（m，n），代入双曲线方程作差即可得直线斜率与中点原点连线斜率之间的关系．

解答：解：双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1具有类似于椭圆的性质：若A是双曲线C的一条与x轴不垂直的弦的中点，那么该弦的斜率等于点A的横、纵坐标的比值与某一常数的积．
证明：设弦的两个端点是M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），的中点为A（m，n）
则有：

x12

a2

-

y12

b2

=1，

x22

a2

-

y22

b2

=1，两式相减得：

x22-x12

a2

-

y22-y12

b2

=0⇒

(x2+x1)(x2-x1)

a2

-

(y2+y1)(y2-y1)

b2

=0
而x2+x1=2m，y2+y1=2n，kMN=

y2-y1

x2-x1

，
代入上式得：kMN=

m

n

•

b2

a2

，(

b2

a2

为常数)，得证．

点评：本题考查了类比推理、直线与双曲线的位置关系，特别是当直线与曲线相交并且与弦的中点有关时，可以使用联立方程组的办法，也可采用点差法．