摘要： [解析]不妨设正三角形ABC 的边长为 3 . 在图1中.取BE的中点D.连结DF． ∵AEEB=CFFA=12.∴AF=AD=2.而∠A=600,∴△ADF是正三角形. 又AE=DE=1.∴EF⊥AD．----2分 在图2中.A1E⊥EF.BE⊥EF.∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角． 由题设条件知此二面角为直二面角.∴A1E⊥BE． 又BE∩EF=E.∴A1E⊥平面BEF.即A1E⊥平面BEP．---.4分 (II)在图2中.∵A1E不垂直于A1B.∴A1E是平面A1BP的斜线． 又A1E⊥平面BEP, ∴A1E⊥BP, 从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影． 设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q.且A1Q交BP于点Q.则 ∠EA1Q就是A1E与平面A1BP所成的角.-------6分 且BP⊥A1Q． 在△EBP中.∵BE=BP=2.∠EBP=600. ∴△EBP是等边三角形.∴BE=EP． 又A1E⊥平面BEP.∴A1B=A1P.∴Q为BP的中点.且EQ=. 又A1E=1,在Rt△A1EQ ,tan∠EA1Q=,∴∠EA1Q=600． 所以直线A1E与平面A1BP所成的角为600．-------8分 (III)在图3中.过F作FM⊥A1P于M.连结QM.QF． ∵CF=CP=1, ∠C=600. ∴△FCP是正三角形.∴PF=1． 又PQ=BP=1.∴PF=PQ． ① ∵A1E⊥平面BEP.EQ=EF=. ∴A1F=A1Q.∴△A1FP≌△A1QP, 从而∠A1PF=∠A1PQ. ② 由①②及MP为公共边知,△FMP≌△QMP. ∴∠QMP=∠FMP=900.且MF=MQ. 从而∠FMQ为二面角B-A1P-F的平面角.-----10分 在Rt△A1QP中.A1Q=A1F=2.PQ=1.∴A1P=. ∵MQ⊥A1P, ∴MQ=,∴MF=. 在△FCQ中.FC=1.QC=2.∠C=600.由余弦定理得QF=. 在△FMQ中.cos∠FMQ=. 所以二面角B-A1P-F的余弦值是．.-----..13分 同解法一． (II)建立分别以ED.EF.EA为x轴.y轴.z轴的空间直角坐标系.则E, B,F(0, ,0), P (1, ,0),则,． 设平面ABP的法向量为. 由平面ABP知..即 令.得.． , , 所以直线A1E与平面A1BP所成的角为600． (II) .设平面AFP的法向量为． 由平面AFP知..即 令.得.． , 所以二面角B-A1P-F的余弦值是．.-----..13分 [链接高考]本题主要考查四棱锥的有关知识,直线与平面垂直,直线于平面所成的角,二面角的问题,以及分析问题与解决问题的能力.简单几何体是立体几何解答题的主要载体,特别是棱柱和棱锥.

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