摘要：19．方法一: (1)证明:连结AC.AC交BD于O.连结EO ∵底面ABCD是正方形.∴点O是AC的中点 在中.EO是中位线.∴PA // EO 而平面EDB且平面EDB. 所以.PA // 平面EDB． ．．．．．．．．．．．．．．．．4分 (2)证明:∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD.∴ ∵PD=DC.可知是等腰直角三角形.而DE是斜边PC的中线. ∴ ① 同样由PD⊥底面ABCD.得PD⊥BC ∵底面ABCD是正方形.有DC⊥BC.∴BC⊥平面PDC 而平面PDC.∴ ② 由①和②推得平面PBC 而平面PBC.∴ 又且.所以PB⊥平面EFD ．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 (3)设正方形边长为1. 由PD⊥平面ABCD.∴ PD⊥BC. 又∵ BC⊥CD.PD∩CD=D.∴BC⊥平面PCD. ∴ BC⊥PC． 在△BDE中.. ∴ .即DE⊥BE． 而由(2).PB⊥平面EFD.有PB⊥DE.因而DE⊥平面BEF. ∴DE⊥EF.则∠BEF即为二面角B-DE-F的平面角． Rt△BEF中.. ∴ .即二面角B-DE-F的余弦值为． ．．．．．．．．14分 方法二:如图所示建立空间直角坐标系.D为坐标原点.设 (1)证明:连结AC.AC交BD于G.连结EG 依题意得 ∵底面ABCD是正方形.∴G是此正方形的中心.故点G的坐标为且 ∴.这表明PA//EG 而平面EDB且平面EDB.∴PA//平面EDB ．．．．．．．．．．．4分 (2)证明,依题意得.又.故 ∴ 由已知.且.所以平面EFD ．．．．．．．．．．．．．．．8分 .是平面EFD的法向量. 设平面BDE的法向量为.= (a, a, 0). 由 取z = -1.则. ∴ ． 即二面角B-DE-F的余弦值为． ．．．．．．．．．．．．14分

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