Question

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，AB=1，AA₁=2，点E为CC₁中点，点F为BD₁中点．

　　(1)证明：EF为BD₁与CC₁的公垂线；

　　(2)求点D₁到面BDE的距离．

Answer 1

答案：
解析：

本小题主要考查线面关系和四棱柱的性质等基础知识，考查空间想像力和推理能力． 　　(1)证明：取BD中点M，连结MC，FM 　　∵　F为BD1中点 　　∴　FM∥DD1且FM=D1D 　　又EC=CC1且EC⊥MC 　　∴　四边形EFMC是矩形，∴　EF⊥CC1 　　又CM⊥面DBD1，∴　EF⊥面DBD1 　　∵　BD1面DBD1，∴　EF⊥BD1 　　故EF为BD1与CC1的公垂线 　　(2)设点D1到面BDE的距离为d．连结ED1，有  　　由(1)知EF⊥面DBD1 　　则S△DBE·d=·EF 　　∵　AA1=2，AB=1，∴　BD=BE=ED=，EF= 　　∴　=××2= 　　S△DBE=××()2= 　　∴　d= 　　即点D1到平面BDE的距离为．