摘要：证一: 即: 证二:由x > 0 , y > 0.2x + y = 1.可设 则 例三:若.求证: 证:设. 则 例四:若x > 1.y > 1.求证: 证:设 则 例五:已知:a > 1, b > 0 , a - b = 1.求证: 证:∵a > 1, b > 0 , a - b = 1 ∴不妨设 则 ∵, ∴0 < sinq < 1 ∴ 小结:若0≤x≤1.则可令x = sinq ()或x = sin2q (). 若.则可令x = cosq , y = sinq (). 若.则可令x = secq, y = tanq (). 若x≥1.则可令x = secq (). 若xÎR.则可令x = tanq ().
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已知函数
．
（Ⅰ）求函数
的单调区间；
（Ⅱ）设
，若对任意
，
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
【解析】第一问利用
的定义域是
由x>0及
得1<x<3；由x>0及
得0<x<1或x>3，
故函数
的单调递增区间是（1,3）；单调递减区间是
第二问中，若对任意
不等式
恒成立，问题等价于
只需研究最值即可。
解： （I）的定义域是 ．．．．．．1分
．．．．．．．．．．．．． 2分
由x>0及 得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，
故函数的单调递增区间是（1,3）；单调递减区间是 ．．．．．．．．4分
（II）若对任意不等式恒成立，
问题等价于，
．．．．．．．．．5分
由（I）可知，在
上，x=1是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，
故也是最小值点，所以
； ．．．．．．．．．．．．6分
当b<1时，
；
当
时，
；
当b>2时，
；
．．．．．．．．．．．．8分
问题等价于
．．．．．．．．11分
解得b<1 或
或 
即
，所以实数b的取值范围是
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