若椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（2，1），离心率为

2

2

，F₁，F₂分别为其左、右焦点．
（Ⅰ）若点P与F₁，F₂的距离之比为

1

3

，求直线x-

2

y+

3

=0被点P所在的曲线C₂截得的弦长；
（Ⅱ） 设A₁，A₂分别为椭圆C₁的左、右顶点，Q为C₁上异于A₁，A₂的任意一点，直线A₁Q交C₁的右准线于点M，直线A₂Q交C₁的右准线于点N，求证MF₂⊥NF₂．

若椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（2，1），离心率为

2

2

，F₁，F₂分别为其左、右焦点．
（Ⅰ）若点P与F₁，F₂的距离之比为

1

3

，求直线x-

2

y+

3

=0被点P所在的曲线C₂截得的弦长；
（Ⅱ） 设A₁，A₂分别为椭圆C₁的左、右顶点，Q为C₁上异于A₁，A₂的任意一点，直线A₁Q交C₁的右准线于点M，直线A₂Q交C₁的右准线于点N，求证MF₂⊥NF₂．

椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，焦距为2，过F₁作垂直于椭圆长轴的弦|PQ|，其长度为3．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若过F₁的直线l交椭圆于A，B两点．判断是否存在直线l使得∠AF₂B为钝角，若存在，求出l的斜率k的取值范围．

椭圆C的两个焦点分别为F₁（-1，0）和F₂（1，0），若该椭圆C与直线x+y-3=0有公共点，则其离心率的最大值为（　　）