摘要：2．掌握研究函数的方法.提高研究函数问题的能力 高中数学对函数的研究理论性加强了.对一些典型问题的研究十分重视.如求函数的定义域.确定函数的解析式.判断函数的奇偶性.判断或证明函数在指定区间的单调性等.并形成了研究这些问题的初等方法.这些方法对分析问题能力.推理论证能力和综合运用数学知识能力的培养和发展是十分重要的． 函数.方程.不等式是相互联系的．对于函数f.f则分别构成方程和不等式.因此对于某些方程.不等式的问题用函数观点认识是十分有益的,方程.不等式从另一个侧面为研究函数提供了工具． 例10．方程lgx+x=3的解所在区间为( ) A． C． 分析:在同一平面直角坐标系中.画出函数y=lgx与y=-x+3的图象．它们的交点横坐标.显然在区间(1.3)内.由此可排除A.D．至于选B还是选C.由于画图精确性的限制.单凭直观就比较困难了．实际上这是要比较与2的大小．当x=2时.lgx=lg2.3-x=1．由于lg2＜1.因此＞2.从而判定∈(2.3).故本题应选C． 说明:本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间．数形结合.要在结合方面下功夫．不仅要通过图象直观估计.而且还要计算的邻近两个函数值.通过比较其大小进行判断． 例11．=kx+h＞0.f(n)＞0.则对于任意x∈＞0.试证明之, (2)试用上面结论证明下面的命题: 若a.b.c∈R且|a|＜1.|b|＜1.|c|＜1.则ab+bc+ca＞-1． 分析:问题(1)实质上是要证明.一次函数f. x∈．若区间两个端点的函数值均为正.则对于任意x∈＞0．之所以具有上述性质是由于一次函数是单调的．因此本问题的证明要从函数单调性入手． (1)证明: 当k＞0时.函数f(x)=kx+h在x∈R上是增函数.m＜x＜n.f＞0, 当k＜0时.函数f(x)=kx+h在x∈R上是减函数.m＜x＜n.f＞0． 所以对于任意x∈＞0成立． (2)将ab+bc+ca+1写成(b+c)a+bc+1.构造函数fx+bc+1．则 fa+bc+1． 当b+c=0时.即b=-c. f(a)=bc+1=-c2+1． 因为|c|＜1.所以f(a)=-c2+1＞0． 当b+c≠0时.fx+bc+1为x的一次函数． 因为|b|＜1.|c|＜1. f=-b-c+bc+1=＞0． 由问题(1)对于|a|＜1的一切值fa+bc+1=ab+ac+bc+1＞0． 说明:问题(2)的关键在于“转化 “构造 ．把证明ab+bc+ca＞-1转化为证明ab+bc+ca+1＞0. 由于式子ab+bc+ca+1中. a.b.c是对称的.构造函数f=(b+c)a+bc+1.问题转化为在|a|＜1.|b|＜1.|c|＜1的条件下证明f=＞0). 例12．定义在R上的单调函数f=log3且对任意x.y∈R都有f． 为奇函数, (2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立.求实数k的取值范围． 分析:欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f成立．在式子f中.令y=-x可得f于是又提出新的问题.求f(0)的值．令x=y=0可得f=0.f(x)是奇函数得到证明． +f. ① 令x=y=0.代入①式.得f.即 f(0)=0． 令y=-x.代入①式.得 f.又f(0)=0.则有 0=f=-f(x)对任意x∈R成立.所以f(x)是奇函数． =log3＞0.即f在R上是单调函数.所以f(x)在R上是增函数.又由是奇函数． f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2). k·3＜-3+9+2. 3-(1+k)·3+2＞0对任意x∈R成立． 令t=3＞0.问题等价于t-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立． R恒成立． 说明:问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x∈R上是增函数.把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2对于任意t＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．本题还有更简捷的解法: 分离系数由k·3＜-3+9+2得 上述解法是将k分离出来.然后用平均值定理求解.简捷.新颖．

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