摘要： 欧拉线的4种证法 三角形的外心.重心.九点圆圆心.垂心.依次位于同一直线上.这条直线就叫三角形的欧拉线. 在△ABC中.已知O.G.H分别是三角形的外心.重心.垂心.求证:O.G.H三点共线.且OG:GH=1:2.(证九点园园心在欧拉线上略.可查有关资料) 欧拉线的证法1: 关于欧拉线的介绍详见:欧拉线.下面是欧拉线的证明 如图.H.G.O分别是△ABC的垂心.重心.外心. 连AH.作△ABC的外接圆直径BOD. 再连DC.DA.则DC⊥BC-①.DA⊥AB-② ∵H为△ABC垂心 ∴AH⊥BC-③.CH⊥AB-④ 由①.③可知DC∥AH.由②.④可知DA∥CH.故四边形ADCH为平行四边形.∴AH=DC. ∵点O与点M分别是BD.CB的中点 ∴DC=2OM.即AH=2OM. 作BC边上的中线AM.连OM.OH,设OH交AM与点G' ∵OM⊥BC.△AHG'∽△MOG'.AH=DC=2OM. ∴AG'=2G'M.因此G'即△ABC重心G. 故△ABC的垂心H.重心G和外心O三点共线.直线HGO即欧拉线. 评注:利用垂心H.外心O作为已知.证中线AM与OH的交点G'为重心. 欧拉线的证法2: 设H,G,O,分别为△ABC的垂心.重心.外心 连接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点. 连接OD .又因为O为外心.所以OD⊥BC.连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE⊥BC.所以OD//AE.有∠ODA=∠EAD.由于G为重心.则GA:GD=2:1. 连接CG并延长交BA于F,则可知D为BC中点.同理.OF//CM.所以有 ∠OFC=∠MCF 连接FD.有FD平行AC,且有DF:AC=1:2.FD平行AC.所以∠DFC=∠FCA.∠FDA=∠CAD.又∠OFC=∠MCF.∠ODA=∠EAD.相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2,又GA:GD=2:1所以HA: OD=GA:GD=2:1,又∠ODA=∠EAD.所以△OGD∽△HGA.所以∠OGD=∠AGH,.所以∠OGD +∠OGA=180°,所以∠AGH +∠OGA =180°.即O.G.H三点共线. 评注:利用重心G.外心O作为已知.证垂心H在直线OG上. 欧拉线的证法3: 设H,G,O,分别为△ABC的垂心.重心.外心. ①若为的外心.为垂心 求证:. 作直经.连.,有.....故..故是平行四边形. 故 ②若为的外心.G为重心 求证: 证明 ∵G是△ABC的重心 ∴==.即 由此可得. ③由①.由② ∴. 所以O.G.H三点共线． 欧拉线的证法4: 在△ABC中.已知Q.G.H分别是三角形的外心.重心.垂心.求证:Q.G.H三点共线.且QG:GH=1:2. [证明]:以A为原点.AB所在的直线为x轴.建立如图所示的直角坐标系.设A(0,0).B(x1,0).C(x2,y2).D.E.F分别为AB.BC.AC的中点.则有: 由题设可设, . 即.故Q.G.H三点共线.且QG:GH=1:2 [注]:本例用平面几何知识.向量的代数运算和几何运算处理.都较麻烦.而借用向量的坐标形式.将向量的运算完全化为代数运算.这样就将“形 和“数 紧密地结合在一起.从而.很多对称.共线.共点.垂直等问题的证明.都可转化为熟练的代数运算的论证.

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