Question

锐角△ABC中，O、G分别为此三角形的外心和重心，若OG∥AC，求证：tanA、tanB、tanC成等差数列．

Answer 1

分析：根据平行知外心和重心到边AC的距离相等，得到三个三角形面积之间的关系，表示出三角形的面积，根据三角函数恒等变化和三角形内角和，得到cosAcosC=

1

2

cosB，这是解题的关键，要证三个数成等差数列，只要证中间一项的二倍等于另两项之和即可．

解答：解：∵OG∥AC，
∴S△AOC=S△AGC=

1

3

S△ABC，
∴

1

2

R•Rsin∠AOC=

1

3

×

1

2

AB•AC•sin∠ABC，
∴3R²•sin2B=2R•2R•sinAsinBsinC，
∴3cosB=2sinAsinC，
-3cosAcosC+3sinAsinC=2sinAsinC，
∴cosAcosC=

1

2

cosB，
∴tanA+tanB=

sinA

cosA

+

sinC

cosC

=

sin(A+C)

cosAcosC

=

sinB

1 2 cosB

=2tanB，
∴tanA、tanB、tanC成等差数列

点评：本题是一个三角函数同等差数列结合的题目，数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位．