如果在（a，b）（a＜b）上的函数f（x），对于?x₁，x₂∈（a，b）都有f（

x1+x2

2

）＜

1

2

[f(x1)+f(x2)]（x₁≠x₂），则称f（x）在（a．b）上是凹函数，设f（x）在（a，b）上可导，其函数f′（x）在（a，b）上也可导，并记[f′（x）]′=f″（x）
（1）如果f（x）在（a，b）上f″（x）＞0，证明：f（x）在（a，b）上是凹函数
（2）若f（x）=（x²-2ax-a+a²）e^x-lnx，用（1）的结论证明：当a＜-2时f（x）在（0，+∞）上是凹函数．

如果函数f（x）=-x²+2ax在区间[1，2]上是减函数，那么实数a的取值范围是a≤1a≤1．如果函数f（x）=-x²+2ax与函数g(x)=

a

x+1

在区间[1，2]上都是减函数，那么实数a的取值范围是0＜a≤10＜a≤1．

已知函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在区间[2，4]上的最大值为9，最小值为1，记f（x）=g（|x|）．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若不等式f（log₂k）＞f（2）成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）定义在[p，q]上的函数φ（x），设p=x₀＜x₁＜…＜x_i-1＜x_i＜…＜x_n-1=q，x₁，x₂，…，x_n-1将区间[p，q]任意划分成n个小区间，如果存在一个常数M＞0，使得和式

n

i=1

|φ(xi)-φ(xi-1)|≤M恒成立，则称函数φ（x）为在[p，q]上的有界变差函数．试判断函数在[0，4]上f（x）是否为有界变差函数？若是，求M的最小值；若不是，请说明理由． （

n

i=1

f(xi)表示f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_n））

已知函数f(x)=x-2a

x

在（0，1）上为减函数．
（1）讨论f（x）的单调性（指出单调区间）；
（2）当a＞0时，如果f（x）在（0，1）上为减函数，g（x）=x²-2alnx在（1，2）上是增函数，求实数a的值；
（3）当a=2时，若g(x)≥2bx-

1

x2

在x∈(0，1]内恒成立，求b的取值范围．

已知函数f(x)=x-2a

x

在（0，1）上为减函数．
（1）讨论f（x）的单调性（指出单调区间）；
（2）当a＞0时，如果f（x）在（0，1）上为减函数，g（x）=x²-2alnx在（1，2）上是增函数，求实数a的值；
（3）当a=2时，若g(x)≥2bx-

1

x2

在x∈(0，1]内恒成立，求b的取值范围．