题目内容
已知函数g（x）=ax2-2ax+1+b（a＞0）在区间[2，4]上的最大值为9，最小值为1，记f（x）=g（|x|）．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若不等式f（log2k）＞f（2）成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）定义在[p，q]上的函数φ（x），设p=x0＜x1＜…＜xi-1＜xi＜…＜xn-1=q，x1，x2，…，xn-1将区间[p，q]任意划分成n个小区间，如果存在一个常数M＞0，使得和式
|φ(xi)-φ(xi-1)|≤M恒成立，则称函数φ（x）为在[p，q]上的有界变差函数．试判断函数在[0，4]上f（x）是否为有界变差函数？若是，求M的最小值；若不是，请说明理由． （
f(xi)表示f（x1）+f（x2）+…+f（xn））
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若不等式f（log2k）＞f（2）成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）定义在[p，q]上的函数φ（x），设p=x0＜x1＜…＜xi-1＜xi＜…＜xn-1=q，x1，x2，…，xn-1将区间[p，q]任意划分成n个小区间，如果存在一个常数M＞0，使得和式
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分析：（I）由已知中g（x）在区间[2，4]的最大值为9，最小值为1，结合函数的单调性及最值，我们易构造出关于a，b的方程组，解得a，b的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）参数a，b的值，代入可得函数解析式，根据二次函数的图象和性质，可将问题转化为距离Y轴距离远的问题，进而构造关于k的方程求出k值．
（Ⅲ）根据有界变差函数的定义，我们先将区间[0，4]进行划分，分成[0，1]，[1，4]两个区间进行分别判断，进而判断
|φ(xi)-φ(xi-1)|≤M是否恒成立，从而求出结论．
（Ⅱ）由（Ⅰ）参数a，b的值，代入可得函数解析式，根据二次函数的图象和性质，可将问题转化为距离Y轴距离远的问题，进而构造关于k的方程求出k值．
（Ⅲ）根据有界变差函数的定义，我们先将区间[0，4]进行划分，分成[0，1]，[1，4]两个区间进行分别判断，进而判断
| n |
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| i=1 |
解答：解：（Ⅰ）∵函数g（x）=ax2-2ax+1+b，a＞0，
∴对称轴为x=1，开口向上，则g（x）在区间[2，4]上是增函数，
又∵函数g（x）故在区间[2，4]上的最大值为9，最小值为1，
∴
，即
解得
；
（Ⅱ）由已知可得f（x）=g（|x|）=x2-2|x|+1为偶函数，
画出函数图象，结合函数图象可知不等式f（log2k）＞f（2）可化为|log2k|＞2，
解得k＞4或0＜k＜
；
（Ⅲ）函数f（x）为[0，4]上的有界变差函数．
∵函数f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，4]上的单调递增函数，
且对任意划分T：0=x0＜x1＜…＜xi＜…＜xn=1，
有1=f（0）=f（xl）＞f（x1）＞…＞f（xi）＞…＞f（xn）=f（1）=0
∴
|φ(xi)-φ(xi-1)|=f（x1）-f（x0）+f（x2）-f（x1）+…+f（xn）-f（xn-1）
=f（x0）-f（xn）=f（0）-f（1）=1恒成立，①
且对任意划分T：1=x0＜x1＜…＜xi＜…＜xn=4，
有0=f（1）=f（xl）＜f（x1）＜…＜f（xi）＜…＜f（xn）=f（4）=9，
∴
|φ(xi)-φ(xi-1)|=f（x1）-f（x0）+f（x2）-f（x1）+…+f（xn）-f（xn-1）
=f（xn）-f（x0）=f（4）-f（1）=9恒成立，②
∴由①②可得
|φ(xi)-φ(xi-1)|=10≤M，
∴存在常数M，使得
|φ(xi)-φ(xi-1)|≤M恒成立，M的最小值为10．
∴对称轴为x=1，开口向上，则g（x）在区间[2，4]上是增函数，
又∵函数g（x）故在区间[2，4]上的最大值为9，最小值为1，
∴
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解得
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（Ⅱ）由已知可得f（x）=g（|x|）=x2-2|x|+1为偶函数，
画出函数图象，结合函数图象可知不等式f（log2k）＞f（2）可化为|log2k|＞2，
解得k＞4或0＜k＜
| 1 |
| 4 |
（Ⅲ）函数f（x）为[0，4]上的有界变差函数．
∵函数f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，4]上的单调递增函数，
且对任意划分T：0=x0＜x1＜…＜xi＜…＜xn=1，
有1=f（0）=f（xl）＞f（x1）＞…＞f（xi）＞…＞f（xn）=f（1）=0
∴
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=f（x0）-f（xn）=f（0）-f（1）=1恒成立，①
且对任意划分T：1=x0＜x1＜…＜xi＜…＜xn=4，
有0=f（1）=f（xl）＜f（x1）＜…＜f（xi）＜…＜f（xn）=f（4）=9，
∴
| n |
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| i=1 |
=f（xn）-f（x0）=f（4）-f（1）=9恒成立，②
∴由①②可得
| n |
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| i=1 |
∴存在常数M，使得
| n |
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| i=1 |
点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，二次函数在闭区间上的最值，新定义，其中（1）的关键是分析出函数的单调性，（2）要用转化思想将其转化为绝对值比较大小（3）的关键是真正理解新定义的含义．属于难题．
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