已知函数f(x)=

1- 1 x    x≥1 1 x -1   0＜x＜1.

（I）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求

1

a

+

1

b

的值；
（II）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．

已知函数f(x)=

1- 1 x x≥1 1 x -10＜x＜1.

（I）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求

1

a

+

1

b

的值；
（II）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．

已知函数f（x）=

4x-a

1+x2

在区间[m，n]上为增函数，
（I）若m=0，n=1时，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若f（m）f（n）=-4．则当f（n）-f（m）取最小值时，
（i）求实数a的值；
（ii）若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（a＜x₁＜x₂＜n）是f（x）图象上的两点，且存在实数x₀∈（a，n）使得f′（x₀）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

，证明：x₁＜x₀＜x₂．

已知函数f（x）=

4x-a

1+x2

在区间[m，n]上为增函数，
（I）若m=0，n=1时，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若f（m）f（n）=-4．则当f（n）-f（m）取最小值时，
（i）求实数a的值；
（ii）若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（a＜x₁＜x₂＜n）是f（x）图象上的两点，且存在实数x₀∈（a，n）使得f′（x₀）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

，证明：x₁＜x₀＜x₂．

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，3）时，f(x)=

x-1，1≤x≤2 3-x，2＜x＜3

；②f（3x）=3f（x）．
（i）f（6）=；
（ii）若函数F（x）=f（x）-a的零点从小到大依次记为x₁，x₂，…，x_n，…，则当a∈（1，3）时，x₁+x₂+…+x_2n-1+x_2n=．