如图所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、BA的方向运动，当第二次MF=MN时M、N两点同时停止运动．连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为t秒．试解答下列问题：
（1）求F、M、N三点共线时t的值；
（2）设△FMN的面积为S，写出S与t的函数关系式．并求出t为何值时S的值最大．
（3）试问t为何值时，△FMN为直角三角形？

（2012•杭州一模）在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项和S_n满足Sn2=an(Sn-

1

2

)．
（1）求a_n；
（2）令bn=

Sn

2n+1

，求数列{b_n}的前项和T_n．

在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项S_n满足S_n²=a_n(Sn-

1

2

)．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）设b_n=

Sn

2n+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）是否存在自然数m，使得对任意n∈N^*，都有T_n＞

1

4

（m-8）成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由．

在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项和S_n满足S_n（S_n-a_n）+2a_n=0
（Ⅰ）证明数列{

1

Sn

}是等差数列；
（Ⅱ）求S_n和数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）设b n=

Sn

n

，求数列{b_n}的前n项和T_n．