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(2012•杭州一模)在数列{a
n
}中,a
1
=1,当n≥2时,其前n项和S
n
满足
S
n
2
=
a
n
(
S
n
-
1
2
)
.
(1)求a
n
;
(2)令
b
n
=
S
n
2n+1
,求数列{b
n
}的前项和T
n
.
试题答案
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分析:
(1)当n≥2时,由a
n
=S
n
-S
n-1
,代入已知整理可得S
n-1
-S
n
=2S
n
S
n-1
,即
1
S
n
-
1
S
n-1
=2
,结合等差数列的通项公式可求S
n
,进而可求当n≥2时a
n
,在对n=1时求a
1
,从而可求a
n
(2)由于
b
n
=
S
n
2n+1
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)
,考虑利用裂项求和即可
解答:
解:(1)当n≥2时,a
n
=S
n
-S
n-1
,
∴
S
n
2
=(
S
n
-
S
n-1
)(
S
n
-
1
2
)=
S
n
2
-
1
2
S
n
-
S
n
S
n-1
+
1
2
S
n-1
,
∴S
n-1
-S
n
=2S
n
S
n-1
,
∴
1
S
n
-
1
S
n-1
=2
,
即数列
{
1
S
n
}
为等差数列,S
1
=a
1
=1,
∴
1
S
n
=
1
S
1
+(n-1)×2=2n-1
,
∴
S
n
=
1
2n-1
,…(4分)
当n≥2时,a
n
=s
n
-s
n-1
=
1
2n-1
-
1
2n-3
=
-2
(2n-1)(2n-3)
∴
a
n
=
1,n=1
-2
(2n-1)(2n-3)
,n≥2
…(8分)
(2)
b
n
=
S
n
2n+1
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)
,
∴
T
n
=
1
2
[(1-
1
3
)+(
1
3
-
1
5
)+…+(
1
2n-1
-
1
2n+1
)]
=
1
2
(1-
1
2n+1
)=
n
2n+1
点评:
本题主要考查了利用递推公式
a
n
=
S
1
,n=1
S
n
-
S
n-1
,n≥2
求解数列的通项公式,要注意对n=1的检验是做题中容易漏掉的知识点,还考查了裂项求和方法的应用.
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1
2
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关 闭
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