即点的轨迹为——青夏教育精英家教网—

摘要：即点的轨迹为

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“神舟”五号宇宙飞船的运行轨迹是以地球的球心F为左焦点的椭圆.设近地点A距地面m千米，远地点B距地面n千米，地球的半径为R千米，关于椭圆有以下四种说法：

①焦距为n-m；②短轴长为；③离心率e=；④以AB方向为x轴的正方向，以AB中点O为坐标原点，则左准线方程为x=.

其中正确的说法有______________（只填序号即可）.

已知点为圆上的动点，且不在轴上，轴，垂足为，线段中点的轨迹为曲线，过定点任作一条与轴不垂直的直线，它与曲线交于、两点。

（I）求曲线的方程；

（II）试证明：在轴上存在定点，使得总能被轴平分

【解析】第一问中设为曲线上的任意一点，则点在圆上，

∴，曲线的方程为

第二问中，设点的坐标为，直线的方程为，　　………………3分　　

代入曲线的方程，可得　

∵，∴

确定结论直线与曲线总有两个公共点．

然后设点,的坐标分别, ，则，

要使被轴平分，只要得到。

（1）设为曲线上的任意一点，则点在圆上，

∴，曲线的方程为． ………………2分

（2）设点的坐标为，直线的方程为，　　………………3分　　

代入曲线的方程，可得　，……5分

∵，∴，

∴直线与曲线总有两个公共点．（也可根据点M在椭圆的内部得到此结论）

………………6分

设点,的坐标分别, ，则，

要使被轴平分，只要，            ………………9分

即，，        ………………10分

也就是，，

即，即只要　 ………………12分　

当时，（＊）对任意的s都成立，从而总能被轴平分．

所以在x轴上存在定点，使得总能被轴平分

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和平面解析几何的观点相同，在空间中，空间曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹．一般来说，在空间直角坐标系O-xyz中，空间曲面的方程是一个三元方程F（x，y，z）=0．
（Ⅰ）在直角坐标系O-xyz中，求到定点M（0，2，-1）的距离为3的动点P的轨迹（球面）方程；
（Ⅱ）如图，设空间有一定点F到一定平面α的距离为常数p＞0，即|FM|=2，定义曲面C为到定点F与到定平面α的距离相等（|PF|=|PN|）的动点P的轨迹，试建立适当的空间直角坐标系O-xyz，求曲面C的方程；
（Ⅲ）请类比平面解析几何中对二次曲线的研究，讨论曲面C的几何性质．并在图中通过画出曲面C与各坐标平面的交线（如果存在）或与坐标平面平行的平面的交线（如果必要）表示曲面C的大致图形．画交线时，请用虚线表示被曲面C自身遮挡部分．

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已知圆M：定点，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足．

(Ⅰ)求点G的轨迹C的方程；

(Ⅱ)过点(2，0)作直线l，与曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，设，是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等(即|OS|＝|AB|)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由．

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（09年长郡中学一模文）（13分）
已知圆，定点,点为圆上的动点，点在上，点
在上，且满足
（I）求点的轨迹的方程；
（II）过点作直线，与曲线交于,两点，是坐标原点，设是否存在这样的直线，使四边形的对角线相等（即）？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.
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