摘要：19． 用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子.小正方形的顶点叫格点.以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S.它各边上格点的个数和为X． ① ② ③ ④ (1)如上图所示的格点多边形.其内部都只有一个格点.它们的面积与各边上格点的个数和对应关系如下表: 多边形序号 ① ② ③ ④ -- 多边形面积S 2 2．5 3 4 -- 各边上格点的个数和X 4 5 6 8 -- 请写出面积S与X之间的关系式为 ． (2)请你再画出一些格点多边形.使这些多边形内部都有且只有2个格点.此时所画的多边形的面积S与它各边上格点的个数和X 之间的关系式为 ． (3)请继续探索.当格点多边形内部有且只有n 个格点时.猜想S 与 X 有怎样的关系?
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让我们一起探索有趣的“皮克定理”：用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x．
（1）上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，请完成下表，并写出S与x之间的关系式：S=
x
x．
（2）探索：在上面网格图中画出四个格点多边形，其内部都只有两个格点，并写出所画的各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和x之间的关系式：S=
x+1
x+1；
（3）猜想：当格点多边形内部有且只有n个格点时，S与x之间的关系式是：S=
x+（n-1）．
x+（n-1）．．
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（1）上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，请完成下表，并写出S与x之间的关系式：S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 多边形的序号 | ① | ② | ③ | ④ | … |
| 多边形的面积S | 2 | 2.5 2.5 |
3 3 |
4 | … |
| 各边上格点的个数和x | 4 | 5 | 6 | 8 | … |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
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（3）猜想：当格点多边形内部有且只有n个格点时，S与x之间的关系式是：S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点．．观察图中每一个正方形（实线）四条边上的格点的个数，请回答下列问题：
（1）由里向外第1个正方形（实线）四条边上的格点个数共有
（2）由里向外第10个正方形（实线）四条边上的格点个数共有
（3）由里向外第n个正方形（实线）四条边上的格点个数共有
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（1）由里向外第1个正方形（实线）四条边上的格点个数共有
4
4
个；由里向外第2个正方形（实线）四条边上的格点个数共有8
8
个；由里向外第3个正方形（实线）四条边上的格点个数共有12
12
个．（2）由里向外第10个正方形（实线）四条边上的格点个数共有
40
40
个．（3）由里向外第n个正方形（实线）四条边上的格点个数共有
4n
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个．31、用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点．．观察图中每一个正方形（实线）四条边上的格点的个数，请回答下列问题：（1）由里向外第1个正方形（实线）四条边上的格点个数共有
4
个；由里向外第2个正方形（实线）四条边上的格点个数共有8
个；由里向外第3个正方形（实线）四条边上的格点个数共有12
个；（2）由里向外第10个正方形（实线）四条边上的格点个数共有
40
个；（3）由里向外第n个正方形（实线）四条边上的格点个数共有
4n
个．
用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x．
（1）上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出S与x之间的关系式；
答：S= ．
（2）请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有2格点．此时所画的各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和x之间的关系式是：S= ；
（3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有n个格点时，猜想S与x有怎样的关系？
答：S= ．
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（1）上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出S与x之间的关系式；
答：S=
| 多边形的序号 | ① | ② | ③ | ④ | … |
| 多边形的面积S | 2 | 2.5 | 3 | 4 | … |
| 各边上格点的个数和x | 4 | 5 | 6 | 8 | … |
（3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有n个格点时，猜想S与x有怎样的关系？
答：S=
初步探索 感悟方法
如图1用水平线和竖直线将平面分成若干个面积为1的小正方形格子，小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x．
（1）上图中的格点多边形，其内部都只有1个格点，它们的面积S与各边上格点的个数和x的对应关系如下表：
请用含x的代数式表示S，即S=
x
x；
（2）进一步探索：你可以画出一些格点多边形，使这些多边形内部有而且只有2个格点，在这种情况下，用含x的代数式表示S，即S=
x+1
x+1；
（3）请你继续探索并归纳：当格点多边形内部有且只有n个格点时，直接写出S与x之间的关系式．
积累经验 拓展延伸
如图2，对等边三角形网格中的类似问题进行探究：等边三角形网格中每个小等边三角形的面积为1，小等边三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．
（4）设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x，当格点多边形内部有且只有n个格点时，直接写出S与x之间的关系式．
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如图1用水平线和竖直线将平面分成若干个面积为1的小正方形格子，小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x．
（1）上图中的格点多边形，其内部都只有1个格点，它们的面积S与各边上格点的个数和x的对应关系如下表：
| 序号 | ① | ② | ③ | ④ | … |
| S | 2 | 2.5 | 3 | 4 | … |
| x | 4 | 5 | 6 | 8 | … |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（2）进一步探索：你可以画出一些格点多边形，使这些多边形内部有而且只有2个格点，在这种情况下，用含x的代数式表示S，即S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（3）请你继续探索并归纳：当格点多边形内部有且只有n个格点时，直接写出S与x之间的关系式．
积累经验 拓展延伸
如图2，对等边三角形网格中的类似问题进行探究：等边三角形网格中每个小等边三角形的面积为1，小等边三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．
（4）设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x，当格点多边形内部有且只有n个格点时，直接写出S与x之间的关系式．