Question

让我们一起探索有趣的“皮克定理”：用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x．

（1）上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，请完成下表，并写出S与x之间的关系式：S=

1

2

x

．

多边形的序号	①	②	③	④	…
多边形的面积S	2	2.5	3	4	…
各边上格点的个数和x	4	5	6	8	…

（2）探索：在上面网格图中画出四个格点多边形，其内部都只有两个格点，并写出所画的各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和x之间的关系式：S=

1

2

x+1

；
（3）猜想：当格点多边形内部有且只有n个格点时，S与x之间的关系式是：S=

1

2

x+（n-1）．

．

Answer 1

分析：（1）2=4×

1

2

，2.5=5×

1

2

；多边形的面积=各边上格点个数和的一半，即S=

1

2

x；
（2）内部有2个格点就是指图形的中间有2个小正方形的顶点，由此画图；并根据图找出S与x的关系．
（3）由图可知多边形内部都有而且只有n格点时，面积为：S=

1

2

x+（n-1）．

解答：解：（1）图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，请你填写下表：

多边形的序号	①	②	③	④	…
多边形的面积S	2	2.5	3	4
各边上格点的个数和x	4	5	6	8

根据以上信息，多边形的面积=各边上格点个数和的一半，即S=

1

2

x；

（2）如图所示：

根据图可知：
长方形的面积是6，它的各边上格点的个数和x是10，中间格点数是2，
6=10÷2+1；
三角形的面积是3，它的各边上格点的个数和x是4，中间格点数是2，
3=4÷2+1；
梯形的面积是5，它的各边上格点的个数和x是8，中间格点数是2，
5=8÷2+1；
那么S=

1

2

x+1；

（3）通过上题探究可知：
最后的1就是内部的格点数2-1而得；
所以格点多边形面积=各边上格点的个数和×

1

2

+（多边形内部格点数-1）；即：
S=

1

2

x+（n-1）；
故答案为：S=

1

2

x；S=

1

2

x+1；S=

1

2

x+（n-1）．

点评：此题需要根据图中表格和自己所算得的数据，总结出规律．寻找规律是一件比较困难的活动，需要仔细观察和大量的验算．