在等腰梯形中，，一条直线与下底相交于点，且直线将等腰梯形的周长平分。 

（1）如图，若直线与腰相交于点，设为，试用含的代数式表示的面积；

（2）是否存在直线将等腰梯形的周长和面积同时平分？若存在，指出符合要求的所有直线的特征；若不存在，请说明理由。

如图1所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与轴负半轴上.过点B、C作直线．将直线平移，平移后的直线与轴交于点D，与轴交于点E．

（1）将直线向右平移，设平移距离CD为(t0)，直角梯形OABC被直线扫过的面积（图中阴影部份）为，关于的函数图象如图2所示， OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4．

①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积；

②当时，求S关于的函数解析式；

（2）在第（1）题的条件下，当直线向左或向右平移时（包括与直线BC重合），在直线AB上是否存在点P，使为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由．

已知：以原点O为圆心，5为半径的半圆与y轴交于A、G两点，AB与半圆相切于点A，点B的坐标为（3，）。（如图1）过半圆上的点C作y轴的垂线，垂足为D.Rt△DOC的面积为。
（1）求点C的坐标；
（2）①命题“如图2，以y轴为对称轴的等腰梯形MNPQ与M₁N₁P₁Q₁的上底和下底都分别在同一条直线上，NP∥MQ，PQ∥P₁Q₁，且NP＞MQ．设抛物线y=a₀x²+h₀过点P、Q，抛物线y=a₁x²+h₁过点P₁、Q₁，则h₀＞h₁”是真命题．请你以Q（3，5）、P（4，3）和Q₁（p，5）、P₁（p+1，3）为例进行验证；
②当图1中的线段BC在第一象限时，作线段BC关于y轴对称的线段FE，连接BF、CE，点T是线段BF上的动点（如图3）；设K是过T、B、C三点的抛物线y=ax²+bx+c的顶点，求K的纵坐标y_K的取值范围．