摘要： 已知函数.其中.为自然对数的底数. (Ⅰ)设是函数的导函数.求函数在区间上的最小值, (Ⅱ)若.函数在区间内有零点.证明:. 本题主要考查导数的运算.导数在研究函数中的应用.函数的零点等基础知识.考查推理论证能力.运算求解能力.创新意识.考查函数与方程.数形结合.分类与整合.化归与转化等数学思想.并考查思维的严谨性. (Ⅰ) ①当时..所以. ②当时.由得. 若.则,若.则. 所以当时.在上单调递增.所以. 当时.在上单调递减.在上单调递增.所以. 当时.在上单调递减.所以. (Ⅱ)设为在区间内的一个零点.则由可知. 在区间上不可能单调递增.也不可能单调递减. 则不可能恒为正.也不可能恒为负. 故在区间内存在零点. 同理在区间内存在零点. 所以在区间内至少有两个零点. 由(Ⅰ)知.当时.在上单调递增.故在内至多有一个零点. 当时.在上单调递减.故在内至多有一个零点. 所以. 此时.在上单调递减.在上单调递增. 因此.必有 . 由得:.有 . 解得. 所以.函数在区间内有零点时..
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(本小题满分14分) 已知函数
，其中
。
。
（1）若
是函数
的极值点，求实数a的值；
（2）若函数
的图象上任意一点处切线的斜率
恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数
在
上有两个零点，求实数a的取值范围。
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(本小题满分14分)
已知函数
，其中
。
。
（1）若
是函数
的极值点，求实数a的值；
（2）若函数
的图象上任意一点处切线的斜率
恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数
在
上有两个零点，求实数a的取值范围。
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(本小题满分14分)已知函数
（其中
是自然对数的底数，
为正数）
（I）若
在
处取得极值，且是的一个零点，求的值；（II）若
，求在区间
上的最大值；（III）设函数
在区间
上是减函数，求的取值范围。
，
，
. 
与曲线
相交，且在交点处有相同的切线，求
的值及该切线的方程；
,当
存在最小值时，求其最小值
的解析式；
时， 
.
，g（x）=alnx，a
R。
（a）的解析式；
）时， 
1.