Question

(本小题满分14分) 已知函数，其中。。

（1）若是函数的极值点，求实数a的值；

（2）若函数的图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数a的取值范围；

（3）若函数在上有两个零点，求实数a的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

（1）1（2）（3）

【解析】

试题分析：由题意知，，所以，     ……2分

（1）所以且，.                            ……4分

（2）对任意的恒成立,                      ……5分

对任意的恒成立,                            

,

而当时，取最大值为1，

，且，.                                         ……7分

（3），且,

；或；

在和上递增；而在上递减。           ……8分

当时

i），则在上递增，

所以在上不可能有两个零点。                             ……9分

ii），则在上递减，而在上递增。      

在上有极小值（也就是最小值），

而，

    ，

时，在上有两个零点。                       ……12分

iii），则在上递减，

所以在上不可能有两个零点。                         ……13分

综上所述：.                                            ……14分

考点：本小题主要考查导数几何意义的应用、利用导数研究单调性和构造函数证明不等式以及基本不等式的应用，考查学生分析问题、解决问题的能力和构造能力以及运算求解能力.

点评：导数是研究函数的性质（尤其是单调性、极值、最值等）的有力工具，要灵活应用.