已知．

（１）求的单调区间；

（２）证明：当时，恒成立；

（３）任取两个不相等的正数，且，若存在使成立，证明：．

【解析】（1）g(x)=lnx+，=        （1’）

当k0时，>0，所以函数g(x)的增区间为（0，+），无减区间；

当k>0时，>0,得x>k；<0，得0<x<k∴增区间（k,+）减区间为（0，k）（3’）

(2)设h(x)=xlnx-2x+e(x1)令= lnx-1=0得x=e, 当x变化时，h(x),的变化情况如表

所以h(x)0, ∴f(x)2x-e                    （5’）

设G(x)=lnx-(x1) ==0,当且仅当x=1时,=0所以G(x) 为减函数, 所以G(x)  G(1)=0, 所以lnx-0所以xlnx(x1)成立,所以f(x) ,综上,当x1时, 2x-ef(x)恒成立.

(3) ∵=lnx+1∴lnx0+1==∴lnx0=-1      ∴lnx0 –lnx=-1–lnx===(10’)  设H(t)=lnt+1-t(0<t<1), ==>0(0<t<1), 所以H(t) 在(0,1)上是增函数,并且H(t)在t=1处有意义, 所以H(t) <H(1)=0∵∴=

∴lnx0 –lnx>0, ∴x0 >x

①h(x)的图象关于原点(0,0)对称；

②h(x)的图象关于y轴对称；

③h(x)的最小值为0；

④h(x)在区间(-1,0)上单调递增.

其中正确的命题是__________________.(把正确命题的序号都填上)

①h(x)的图像关于原点对称；       ②h(x)为偶函数；

③h(x)的最小值为0；                ④h(x)在(0，1)上为减函数．

其中正确命题的序号为_____________.(将你认为正确的命题的序号都填上)

【解析】如图：|OB|＝b，|O F₁|＝c．∴k_PQ＝，k_MN＝﹣．

直线PQ为：y＝(x＋c)，两条渐近线为：y＝x．由，得：Q(，)；由，得：P(，)．∴直线MN为：y－＝﹣(x－)，

令y＝0得：x_M＝．又∵|MF₂|＝|F₁F₂|＝2c，∴3c＝x_M＝，解之得：，即e＝．

【答案】B