11.甲、乙两班的学生人数相等，各有一些学生参加数学选修课，甲班参加数学选修课的人数

　好是乙班没有参加的人数的1/3，乙班参加数学选修课的人数 好是甲班没有参加的人数

　 的1/4。那么甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的几分之几?

8

9

　[答案]

　[解]：设甲班没参加的是4x人，乙班没参加的是3y人

那么甲班参加的人数是y人，乙班参加的人数是x人

根据条件两班人数相等，所以4x+y=3y+x

3x=2y　 x:y=2:3

　 8

因此4x:3y=8:9故那么甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的9

　[另解]列一元一次方程：可假设两班人数都为“1”，设甲班参加的为x，则甲班未参加的为

　(1-x)则乙班未参加的为3x，则乙班参加的为(1-3x),可列方程：(1-x)/4=1-3x 求x=3/11。

　[提示]方程演算、设而不求、量化思想都有了，这道题不错。

　2007年 点中学入学试卷分析系列七

3．甲、乙、丙三人现在岁数的和是113岁，当甲的岁数是乙的岁数的一半时，丙是38岁，当乙

的岁数是丙的岁数的一半时，甲是17岁，那么乙现在是多大岁数？

　[答案]32岁

----------------------- 页面 13-----------------------

　[解]如图。

设过x年，甲17岁，得：

[(17 - x) ￥2 + x]￥2 = 38+ x

解得　 x=10,

某个时候，甲17-10=7岁，乙7×2=14岁，丙38岁，年龄和为59岁，

所以到现在每人还要加　 (113-59)÷3=18 (岁)

所以乙现在14+18=32 (岁)。

31 满足下式的填法共有　 种?

　 口口口口-口口口=口口

　[答案]4905。

　[解]由右式知，本题相当于求两个两位数a与b之和不小于100的算式有多少种。

　 a=10时，b在9099之间，有10种

　 a=11时，b在8999之间，有11种

　 ……

　 a=99时，b在1　 99之间，有99种。共有

----------------------- 页面 10-----------------------

　 10+11+12+……99=4905(种)。

　[提示]算式谜跟计数问题结合，本题是一例。数学模型的类比联想是解题关键。

34 在足球表面有五边形和六边形图案(见右上图)，每个五边形与5个六边形相连，每个六边形

　 与3个五边形相连。那么五边形和六边形的最简整数比是_______ 。

　[答案]3 ︰5。

　[解]设有X个五边形。每个五边形与5个六边形相连，这样应该有5X个六边形，可是每个六边

　 5

　X

形与3个五边形相连，即每个六边形被数了3遍，所以六边形有3　 个。

　 5

　 X　 : X　 = 3 :5

　 3

36 用方格纸剪成面积是4的图形，其形状只能有以下七种：

如果用其中的四种拼成一个面积是16的正方形，那么，这四种图形的编号和的最大值是______．

　[答案]19.

　[解]为了得到编号和的最大值，应先利用编号大的图形，于是，可以拼出，由：(7)，(6)，

(5)，(1)　 (7)，(6)，(4)，(1)　 (7)，(6)，(3)，(1)组成的面积是16的正方形：

显然，编号和最大的是图1，编号和为7+6+5+1＝19，再验证一下，并无其它拼法．

　[提示]注意 结果入手的思考方法。我们画出面积16的正方形，先涂 阴影(6)(7)，

再涂出(5)，经过适当变换，可知，只能利用(1)了。

而其它情况，用 (6)(7)，和 (4)，则只要考虑 (3)(5)这两种情况是否可以。

40 设上题答数是a，a的个位数字是b．七个圆内填入七个连 自然数， 每两个相邻圆内的数

　 之和等于连线 的已知数，那么写A的圆内应填入_______．

----------------------- 页面 11-----------------------

　[答案]A＝6

　[解]如图所示：

B＝A－4,

C＝B+3，所以C＝A－1;

D=C+3，所以D＝A+2;

而A +D ＝14;

所以A＝(14－2)÷2＝6.

　[提示]本题要点在于推导隔一个圆的两个圆的差，

　 而得到最后的和差关系来解题。

43 某个自然数被187除余52，被188除也余52，那么这个自然数被22除的余数是_______．

　[答案]8

　[解]这个自然数减去52后，就能被187和188整除，为了说明方便，这个自然数减去52后所得

的数用M表示，因187＝17×11，故M能被11整除 因M能被188整除，故，M也能被2整除，所以，

M也能被11×2＝22整除，原来的自然数是M+52，因为M能被22整除，当考虑M+52被22除后的

余数时，只需要考虑52被22除后的余数． 52＝22×2+8这个自然数被22除余8．

56 有一堆球，如果是10的倍数个，就平均分成10堆，并且拿走9堆 如果不是10的倍数个，就

　 添加几个球(不超过9个)， 这堆球成为10的倍数个，然后将这些球平均分成10堆，并且拿

　 走9堆。这个过程称为一次操作。如果最初这堆球的个数为

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2…9 8 9 9．

连 进行操作，直至剩下1个球为止，那么共进行了 次操作;共添加了　 个球.

　[答案]189次　 802个。

　[解]这个数共有189位，每操作一次减少一位。操作188次后，剩下2，再操作一次，剩下1。

共操作189次。这个189位数的各个数位 的数字之和是

　(1+2+3+…+9)20=900。

由操作的过程知道，添加的球数相当于将原来球数的每位数字都补成9，再添1个球。

所以共添球

　1899-900+1=802(个)。

60 有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是693，如果把所有这样的分数 大到小排

　 列，那么第二个分数是______．

　9

77

　[答案]

　[解]把693分解质因数：693＝3×3×7×11．为了保证分子、分母不能约分(否则，约分后分

子与分母之积就不是693)，相同质因数要么都在分子，要么都在分母，并且分子应小于分母．分

子 大到小排列是11，9，7，1，

----------------------- 页面 12-----------------------

68 在1，2，…，1997这1997个数中，选出一些数， 得这些数中的每两个数的和都能被22整

　 除，那么，这样的数最多能选出______个．

　[答案]91

　[解]有两种选法：(1)选出所有22的整数倍的数，即：22，22×2，22×3，…，22×90＝1980，

共90个数 (2)选出所有11的奇数倍的数，即：11，11+22×1，11+22×2…，11+22×90＝

1991，共91个数，所以，这样的数最多能选出91个．

7.　 甲、乙两班的学生人数相等，各有一些学生参加数学选修课，甲班参加数学选修课的人数

　好是乙班没有参加的人数的1/3，乙班参加数学选修课的人数 好是甲班没有参加的人数

　 的1/4。那么甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的几分之几?

8

9

　[答案]

　[解]：设甲班没参加的是4x人，乙班没参加的是3y人

那么甲班参加的人数是y人，乙班参加的人数是x人

根据条件两班人数相等，所以4x+y=3y+x

3x=2y　 x:y=2:3

　 8

因此4x:3y=8:9故那么甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的9

　[另解]列一元一次方程：可假设两班人数都为“1”，设甲班参加的为x，则甲班未参加的为

　(1-x)则乙班未参加的为3x，则乙班参加的为(1-3x),可列方程：(1-x)/4=1-3x 求x=3/11。

　[提示]方程演算、设而不求、量化思想都有了，这道题不错。

　 目标班

名校真卷七

3．甲、乙、丙三人现在岁数的和是113岁，当甲的岁数是乙的岁数的一半时，丙是38岁，当乙

的岁数是丙的岁数的一半时，甲是17岁，那么乙现在是多大岁数？

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　[答案]32岁

　[解]如图。

设过x年，甲17岁，得：

[(17 - x) ￥2 + x]￥2 = 38+ x

解得　 x=10,

某个时候，甲17-10=7岁，乙7×2=14岁，丙38岁，年龄和为59岁，

所以到现在每人还要加　 (113-59)÷3=18 (岁)

所以乙现在14+18=32 (岁)。

2．22名家长 (爸爸或妈妈，他们都不是老师)和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已

知家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，至少有一名男老师，那么在这22人中，

共有爸爸多少人？

　[答案]5人

　[解]家长和老师共22人，家长比老师多，家长就不少于12人，老师不多于10人，妈妈和爸爸

不少于12人，妈妈比爸爸多，妈妈不少于7人．女老师比妈妈多2人，女老师不少于7+2＝

9(人)．女老师不少于9人，老师不多于10人，就得出男老师至多1人，但题中指出，至少有1名

男老师，因此，男老师是1人，女老师就不多于9人，前面已有结论，女老师不少于9人，因此，

女老师有9人，而妈妈有7人，那么爸爸人数是：22-9-1-7＝5(人)　 在这22人中，爸爸有5人．

　[提示]妙，本题多次运用最值问题思考方法，且巧借半差关系，得出不等式的范围。

正反结合讨论的方法也有体现。

1．小红到商店买一盒花球，一盒白球，两盒球的数量相等，花球原价是2元钱3个，白球原价

是2元钱5个．新年优惠，两种球的售价都是4元钱8个，结果小红少花了5元钱，那么，她一共

买了多少个球？

　[答案]150个

　[解]

用矩形图来分析，如图。

22　 1

　x +　 x -　 ￥2x = 5

容易得，35　 2

解得:　 x = 75

所以　 2x=150

1　 满足下式的填法共有　 种?

　 口口口口-口口口=口口

　[答案]4905。

　[解]由右式知，本题相当于求两个两位数a与b之和不小于100的算式有多少种。

　 a=10时，b在90 99之间，有10种

　 a=11时，b在89 99之间，有11种

……

　 a=99时，b在1　 99之间，有99种。共有

　 10+11+12+……99=4905(种)。

　[提示]算式谜跟计数问题结合，本题是一例。数学模型的类比联想是解题关键。

4　 在足球表面有五边形和六边形图案(见右上图)，每个五边形与5个六边形相连，每个六边形

　 与3个五边形相连。那么五边形和六边形的最简整数比是_______ 。

　[答案]3 ︰5。

　[解]设有X个五边形。每个五边形与5个六边形相连，这样应该有5X个六边形，可是每个六边

5

　X

形与3个五边形相连，即每个六边形被数了3遍，所以六边形有3　 个。

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　 5

　 X　 : X　 = 3 :5

　 3

6　 用方格纸剪成面积是4的图形，其形状只能有以下七种：

如果用其中的四种拼成一个面积是16的正方形，那么，这四种图形的编号和的最大值是______．

　[答案]19.

　[解]为了得到编号和的最大值，应先利用编号大的图形，于是，可以拼出，由：(7)，(6)，

(5)，(1)　 (7)，(6)，(4)，(1)　 (7)，(6)，(3)，(1)组成的面积是16的正方形：

显然，编号和最大的是图1，编号和为7+6+5+1＝19，再验证一下，并无其它拼法．

　[提示]注意 结果入手的思考方法。我们画出面积16的正方形，先涂 阴影(6)(7)，

再涂出(5)，经过适当变换，可知，只能利用(1)了。

而其它情况，用 (6)(7)，和 (4)，则只要考虑 (3)(5)这两种情况是否可以。

10 设上题答数是a，a的个位数字是b．七个圆内填入七个连 自然数， 每两个相邻圆内的数

　 之和等于连线 的已知数，那么写A的圆内应填入_______．

　[答案]A＝6

　[解]如图所示：

B＝A－4,

C＝B+3，所以C＝A－1;

D=C+3，所以D＝A+2;

而A +D ＝14;

所以A＝(14－2)÷2＝6.

　[提示]本题要点在于推导隔一个圆的两个圆的差，

　 而得到最后的和差关系来解题。

----------------------- 页面 7-----------------------

13 某个自然数被187除余52，被188除也余52，那么这个自然数被22除的余数是_______．

　[答案]8

　[解]这个自然数减去52后，就能被187和188整除，为了说明方便，这个自然数减去52后所得

的数用M表示，因187＝17×11，故M能被11整除 因M能被188整除，故，M也能被2整除，所以，

M也能被11×2＝22整除，原来的自然数是M+52，因为M能被22整除，当考虑M+52被22除后的

余数时，只需要考虑52被22除后的余数． 52＝22×2+8这个自然数被22除余8．

26 有一堆球，如果是10的倍数个，就平均分成10堆，并且拿走9堆 如果不是10的倍数个，就

　 添加几个球(不超过9个)， 这堆球成为10的倍数个，然后将这些球平均分成10堆，并且拿

　 走9堆。这个过程称为一次操作。如果最初这堆球的个数为

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2…9 8 9 9．

连 进行操作，直至剩下1个球为止，那么共进行了 次操作;共添加了　 个球.

　[答案]189次　 802个。

　[解]这个数共有189位，每操作一次减少一位。操作188次后，剩下2，再操作一次，剩下1。

共操作189次。这个189位数的各个数位 的数字之和是

　(1+2+3+…+9)20=900。

由操作的过程知道，添加的球数相当于将原来球数的每位数字都补成9，再添1个球。

所以共添球

　1899-900+1=802(个)。

30 有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是693，如果把所有这样的分数 大到小排

　 列，那么第二个分数是______．

　9

77

　[答案]

　[解]把693分解质因数：693＝3×3×7×11．为了保证分子、分母不能约分(否则，约分后分

子与分母之积就不是693)，相同质因数要么都在分子，要么都在分母，并且分子应小于分母．分

子 大到小排列是11，9，7，1，

8.　 1到100的自然数中，每次取出2个数，要 它们的和大于100，则共有 _____ 种取法.

　[答案]2500

　[解] 设选有a、b两个数，且a＜b，

当a为1时，b只能为100，1种取法

当a为2时，b可以为99、100，2种取法

当a为3时，b可以为98、99、100，3种取法

当a为4时，b可以为97、98、99、100，4种取法

当a为5时，b可以为96、97、98、99、100，5种取法

………………

当a为50时，b可以为51、52、53、…、99、100，50种取法

当a为51时，b可以为52、53、…、99、100，49种取法

当a为52时，b可以为53、…、99、100，48种取法

----------------------- 页面 8-----------------------

………………

当a为99时，b可以为100，1种取法．

2

所以共有1+2+3+4+5+…+49+50+49+48+…+2+1＝50 ＝2500种取法．

　 [拓展] 1-100中，取两个不同的数， 其和是9的倍数，有多少种不同的取法？

　 [解] 除以9的余数考虑，可知两个不同的数除以9的余数之和为9。通过计算，易知除以9

余1的有12种，余数为2-8的为11种，余数为0的有11种，但其中有11个不满足题意：如9+9、

18+18……，要减掉11。而余数为1的是12种，多了11种。这样，可以看成，1-100种，每个数

都对应11种情况。

11×100÷2=550种。除以2是因为1+8和8+1是相同的情况。

12. 下图中有五个三角形，每个小三角形中的三个数的和都等于50，其中A ＝25，A +A +A +

　 7 1　 23

A ＝74，A +A +A +A ＝76，那么A 与A 的和是多少？

　4 9　 35　 10　 2　 5

A1

　 A9　 A2 A8　 A

　 7

　 6

　A3　 A

A

　5

　4 A10

A

　[答案]25

　[解] 有A +A +A ＝50，

1　 2　 8

A +A +A ＝50，

　 9　 2　 3

A +A +A ＝50，

　 4　 3　 5

A +A +A ＝50，

　 10 5　 6

A +A +A ＝50，

　 7　 8　 6

　于是有A +A +A +A +A +A +A +A +A +A +A +A +A +A +A ＝250，

　 1　 2　 8　 9　 2　 3　 4　 3　 5　 10　 5　 6　 7　 8　 6

　即(A+A +A +A )+(A +A +A +A )+A +A +2A +2A + A ＝250.

　 1　 2　 3　 4 9　 3　 5　 10　 2　 5　 6　 87

　有74+76+A +A +2(A +A )+ A ＝250，而三角形A A A 中有A +A +A ＝50，其中A ＝25，所以A +A

　2　 56　 876　 7　 86　 7　 8 7 6　 8

＝50－25＝25.

　那么有A +A ＝250－74－76－50－25＝25.

　 2　 5

　[提示]上面的推导完全正确，但我们缺 方向感和总体把握性。

　其实，我们看到这样的数阵，第一感觉是看到这里5个50并不表示10个数之和，而是这

10个数再加上内圈5个数的和。这一点是最明显的感觉，也是重要的等量关系。

　 再看问题定方向”，要求第2个数和第5个数的和，

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　说明跟内圈另外三个数有关系，而其中第6个数和第8个数的和是50-25＝25,

　再看第3个数，在加两条直线第1、2、3、4个数和第9、3、5、10个数时，重复算到第3个

数，

　好戏开演：

　74+76+50+25+第2个数+第5个数＝50×5

　所以 第2个数+第5个数＝25

12.已知三位数的 位数字之积等于10，则这样的三位数的个数是 _____ 个.

　[答案]6

P 3

　 3

　[解] 因为10＝2×5，所以这些三位数只能由1、2、5组成，于是共有 ＝6个．