10.(2010全国卷1理)(22)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)

已知数列中， .

(Ⅰ)设，求数列的通项公式；

(Ⅱ)求使不等式成立的的取值范围 .

9.(2010四川理)(21)(本小题满分12分)

已知数列{a_n}满足a₁＝0，a₂＝2，且对任意m、n∈N^*都有

a_2m－1+a_2n－1＝2a_m+n－1+2(m－n)²

(Ⅰ)求a₃，a₅；

(Ⅱ)设b_n＝a_2n+1－a_2n－1(n∈N^*)，证明：{b_n}是等差数列；

(Ⅲ)设c_n＝(a_n+1－a_n)q^n－1(q≠0，n∈N^*)，求数列{c_n}的前n项和S_n.

本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力.

解：(1)由题意，零m＝2,n－1,可得a₃＝2a₂－a₁+2＝6

　　　 再令m＝3,n＝1，可得a₅＝2a₃－a₁+8＝20………………………………2分

(2)当n∈N ^*时，由已知(以n+2代替m)可得

a_2n+3+a_2n－1＝2a_2n+1+8

于是[a_2(n+1)+1－a_2(n+1)－1]－(a_2n+1－a_2n－1)＝8

即　 b_n+1－b_n＝8

所以{b_n}是公差为8的等差数列………………………………………………5分

(3)由(1)(2)解答可知{b_n}是首项为b₁＝a₃－a₁＝6,公差为8的等差数列

则b_n＝8n－2，即a_2n+=1－a_2n－1＝8n－2

另由已知(令m＝1)可得

a_n＝-(n－1)².

那么a_n+1－a_n＝－2n+1

　　　　　 ＝－2n+1

　　　　　 ＝2n

于是c_n＝2nq^n－1.

当q＝1时，S_n＝2+4+6+……+2n＝n(n+1)

当q≠1时，S_n＝2·q⁰+4·q¹+6·q²+……+2n·q^n－1.

两边同乘以q，可得

　　　　　 qS_n＝2·q¹+4·q²+6·q³+……+2n·qⁿ.

上述两式相减得

　　　 (1－q)S_n＝2(1+q+q²+……+q^n－1)－2nqⁿ

　　　　　　　 ＝2·－2nqⁿ

　　　　　　　 ＝2·

所以S_n＝2·

综上所述，S_n＝…………………………12分

8.(2010北京文)(16)(本小题共13分)

已知为等差数列，且，。

(Ⅰ)求的通项公式；

(Ⅱ)若等差数列满足，，求的前n项和公式

解：(Ⅰ)设等差数列的公差。

　　　　 因为

　　　　 所以　　　 解得

所以

　 (Ⅱ)设等比数列的公比为

　　　　 因为

所以　 即=3

所以的前项和公式为

7.(2010浙江文)(19)(本题满分14分)设a₁，d为实数，首项为a₁，公差为d的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，满足+15=0。

(Ⅰ)若=5，求及a₁；

(Ⅱ)求d的取值范围。

6.(2010重庆文)(16)(本小题满分13分，(Ⅰ)小问6分，(Ⅱ)小问7分. )

已知是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前项和.

(Ⅰ)求通项及；

(Ⅱ)设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前项和.

5.(2010安徽文)(21)(本小题满分13分)

设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数,圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列.

(Ⅰ)证明：为等比数列；

(Ⅱ)设，求数列的前项和.

[命题意图]本题考查等比列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力.

[解题指导](1)求直线倾斜角的正弦，设的圆心为，得，同理得，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即中与的关系，证明为等比数列；(2)利用(1)的结论求的通项公式，代入数列，然后用错位相减法求和.

[方法技巧]对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出关于数列相邻项与之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论.对于数列求和问题，若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数列时，通常是利用前n项和乘以公比，然后错位相减解决.

4.(2010江西理)22. (本小题满分14分)

证明以下命题：

(1)　　　 对任一正整a,都存在整数b,c(b<c)，使得成等差数列。

(2)　　　 存在无穷多个互不相似的三角形△，其边长为正整数且成等差数列。

[解析]作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。

　　 (1)考虑到结构要证，；类似勾股数进行拼凑。

证明：考虑到结构特征，取特值满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立。

结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。

证明：当成等差数列，则，

分解得：

选取关于n的一个多项式，做两种途径的分解

对比目标式，构造，由第一问结论得，等差数列成立，

考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。

下证互不相似。

任取正整数m，n，若△_m，△相似：则三边对应成比例，　

由比例的性质得：，与约定不同的值矛盾，故互不相似。

3.(2010全国卷2文)(18)(本小题满分12分)

已知是各项均为正数的等比数列，且

，

(Ⅰ)求的通项公式；

(Ⅱ)设，求数列的前项和。

[解析]本题考查了数列通项、前项和及方程与方程组的基础知识。

(1)设出公比根据条件列出关于与的方程求得与，可求得数列的通项公式。

(2)由(1)中求得数列通项公式，可求出bn的通项公式，由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。

2.(2010陕西文)16.(本小题满分12分)

　　 已知{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁＝1，且a₁，a₃，a₉成等比数列.

　　 (Ⅰ)求数列{a_n}的通项;　　 (Ⅱ)求数列{2^an}的前n项和S_n.

　　 解　 (Ⅰ)由题设知公差d≠0，

　　 由a₁＝1，a₁，a₃，a₉成等比数列得＝，

　　 解得d＝1，d＝0(舍去)，　　 故{a_n}的通项a_n＝1+(n－1)×1＝n.

　　 (Ⅱ)由(Ⅰ)知=2ⁿ，由等比数列前n项和公式得

　　 S_m=2+2²+2³+…+2ⁿ==2ⁿ⁺¹-2.

1.(2010上海文)21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个小题满分8分。

已知数列的前项和为，且，

(1)证明：是等比数列；

(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.

解析：(1) 当n=1时，a₁=-14；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-5a_n+5a_n-1+1，所以， 又a₁-1=-15≠0，所以数列{a_n-1}是等比数列； (2) 由(1)知：，得，从而(nÎN*)； 由S_n+1>S_n，得，，最小正整数n=15．