3.设y=8x²-lnx，则此函数在区间(0,1/4)和(1/2,1)内分别为( C )

　 A．单调递增，单调递减　　　 B、单调递增，单调递增

　 C、单调递减，单调递增　　　 D、单调递减，单调递减

2.关于函数，下列说法正确的是(　 B　 )

(A)当-2时，有极大值1　　 (B)　 当0时，有极小值-63

(C)当2时，有极大值1　　 (D)　 函数的最大值为1

1．下列函数中，在x=0处的导数不等于零的是( A )

　　 A．　　　　　　　　　 B．　　

　　 C．y=ln(1－x²)　　　　　　　　 D．

例1．设函数内为奇函数且可导，证明：

内的偶函数.

证明：对任意

由于为奇函数，，

于是，

因此即内的偶函数。

例2．已知函数处取得极值，并且它

的图象与直线在点(1，0)处相切，求a、b、c的值.

解：由曲线过(1，0)得① 又+b

则　　　　　　　　　　 ②

　　　　　　　　　 ③

　解①②③得.

例3．已知有极大值和极小值.

　 (1)求+的值；

　 (2)设曲线的极值点为A、B，求证：线段AB的中点在上.

解：(1)，由于有极大值和极小值，

、的两根，则

(2)设,由

知AB的中点在上。

例4．设函数的驻点是0和4.

　 (1)求常数k的值；　　　　

(2)确定函数的单调区间；

　 (3)求的极值。

解：(1)，由于驻点是0和4，∴0和4是方程的两根，可求得

(2)由(1)可知，∴当为增函数，为减函数；

(3)由(2)可判断极大值为极小值为

例5．求证：。

证明：(1)当时，=1，=1，命题成立；

　　 (2)当>0时，令，则>0

　　　　　 在(0，)上为增函数

　　　　　 >0，>　 即>0

　　　　　 >；

　　 (3)当<0时，令，则<0

　　　　　 在()上为减函数

　　　　　 <0，>　 即>0

　　　　　 >

综合以上情况，。

例6．已知函数问是否存在实数a、b使f(x)在[－1，2]上取得最大值3，最小值－29，若存在，求出a、b的值.并指出函数的单调区间 . 若不存在，请说明理由 .

解：(舍)

　 (1)a>0时，如下表

x	(－1,0)	0	(0，2)
	+	0	-
		最大值3

　　　 ∴当x=0时，取得最大值， ∴b=3；

　 (2)a<0时，如下表

x	(－1,0)	0	(0，2)
	-	0	+
		最小值－29

∴当x=0时，取得最小值， ∴b=－29(9分)　 又f(2)=－16a－29, f(－1)=－7a－29<f(2)

　　 ∴当x=2时, 取得最大值，∴－16a－29=3， a=－2，

　　 综上：a=2, b=3 或a=－2, b=－29。

例7．(2003年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷、辽宁卷理19))

　　 设，求函数的单调区间.

分析：本例主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力。

解：.

当时　 .

(i)当时，对所有，有.

即，此时在内单调递增.

(ii)当时，对，有，

即，此时在(0，1)内单调递增，又知函数在x=1处连续，因此，函数在(0，+)内单调递增

(iii)当时，令，即.

解得.

因此，函数在区间内单调递增，在区间内也单调递增.

令，

解得.

因此，函数在区间内单调递减.

例8．⑴ 设≤1，求一个正常数a，使得x≤.

⑵ 设≤1，，求证：≤.

解：⑴　 x≤可化为≥0，令=，

，由得，

=3a-2≥0，=-3a+4≥0，∴≤≤，　　 ①

∴∈[-1，1]，≥0，即≥　 ②

由①、②得，.

从而当≤1时，=≥0，即x≤.

⑵　 由⑴知，对≤1，有≤，(i=1，2，…，n)

将这n个式子求和，得≤.

例9．从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一个边为x的正方形，再将四边向上折起，做成一个无盖的长方形铁盒，要求长方体的高度与底面边的比值不超过常数t(t>0)。试问当x取何值时，容量V有最大值。

解：=

　 　 　　函数V()=的定义域为

　 令=0 得　

(1)当，即时，时，＞0　．V()为增函数；

时，＜0　．V()为减函数； V()在上有极大值V()，

为唯一驻点，当时， 有最大值。

(2)当，即时，时，＞0恒成立；

V()为增函数；当时， 有最大值。

例10．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为K(K>0)，贷款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放贷出去.(1)若存款的利率为x,x(0，0.048)，试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息h(x)；(2)存款利率定为多少时，银行可获得最大收益?

解：(1)由题意，存款量g(x)=Kx²,银行应支付的利息

h(x)=x·g(x)= Kx³

(2)设银行可获收益为y,则y=0.048·Kx²–Kx³

y ^/=K·0.096x–3 Kx²　　　 令y ^/=0　　　 即K×0.096x–3 Kx²=0

解得x=0 或x=0.032

又当x(0,0.032)时，y ^/>0, x(0.032,0.048)时, y ^/<0

　y在(0,0.032)内单调递增，在(0.032,0.048) 单调递减

故当x=0.032时，y在(0,0.048)内取得极大值，亦即最大值

答：存款利率为3.2%时，银行可获得最大收益

求闭区间上的可导函数的最大(小)值的方法是：首先求出此函数在开区间内的驻点，然后计算函数在驻点与端点处的值，并将它们进行比较，其中最大的一个即为最大值，最小的一个即为最小值，这里无须对各驻点讨论其是否为极大(小)值点。

如果函数不在闭区间上可导，那么求函数的最大(小)值时，不仅要比较此函数在各驻点与端点处的值，还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值。

一般地，求在闭区间上连续，在开区间内可导的函数在闭区间上最值的步骤为：

⑴求在区间内的根，即导数为0的点(不必确定它是极大值点还是极小值点)，求出这些导数为0的点的函数值；

⑵求在闭区间两端点处的函数值，即与；

⑶将导数为0的函数值与两端点处的函数值进行比较，其中最大的一个即为最大值，最小的一个即为最小值。

若函数在某个区间内可导，则当时，在此区间上为单调增函数；而当时，在此区间上为单调减函数。利用上述性质，可以研究函数的单调性。

注意点：

(1)同一函数的两个单调区间不能并起来

(2)求函数的单调区间，求导的方法不是唯一的方法，也不一定是最好的方法，但它是一种一般性的方法。

10.已知函数的图像过点.过点的切线与图象仅点一个公共点，又知切线斜率的最小值为2，求的解析式

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9..曲线上有一点，它的坐标均为整数，且过点的切线斜率为正数，求此点坐标及相应的切线方程.

8.已知函数. 若，且，，求．

7.设曲线：，在哪一点处的切线斜率最小？设此点为

求证：曲线关于点中心对称.