3．一个平面把空间分成__2__部分，两个平面把空间最多分成_4___部分，三个平面把空间最多分成__8__部分．

2．有下列命题：

①空间四点中有三点共线，则这四点必共面；②空间四点中，其中任何三点不共线，则这四点不共面；③用斜二测画法可得梯形的直观图仍为梯形；④垂直于同一直线的两直线平行⑤两组对边相等的四边形是平行四边形．

其中正确的命题是　　　　　　　 ．

答案：①③

1．在空间四边形的边、、、上分别取点，如果与相交于一点，那么　　　　　　　　　　　 (　 　)

一定在直线上　　　 一定在直线上

可能在直线上，也可能在直线上

既不在直线上，也不在直线上

例1．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线．

解：∵AB∥CD，

∴AB，CD确定一个平面β．

又∵ABα＝E，ABβ，∴E∈α，E∈β，

即E为平面α与β的一个公共点．

同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．

∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，

∴E，F，G，H四点必定共线．

说明：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．

例2．已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．

证明　 1^o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A，

但AÏd，如图1．

∴直线d和A确定一个平面α．

又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，

则A，E，F，G∈α．

∵A，E∈α，A，E∈a，∴aα．

同理可证bα，cα．

∴a，b，c，d在同一平面α内．

2^o当四条直线中任何三条都不共点时，如图2．

∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α．

设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α．

又 H，K∈c，∴c,则cα．

同理可证dα．

∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．

说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．

例3．如图，点A，B，C确定的平面与点D，E，F确定的平面相交于直线l，且直线AB与l相交于点G，直线EF与l相交于点H，试作出平面ABD与平面CEF的交线．

解：如图3，在平面ABC内，连结AB，与l相交于点G，则G∈平面DEF；在平面DEF内，连结DG，与EF相交于点M，则M∈平面ABD，且M∈平面CEF．所以，M在平面ABD与平面CEF的交线上．同理，可作出点N，N在平面ABD与平面CEF的交线上．连结MN，直线MN即为所求．

例4．如图，已知平面α，β，且αβ＝l．设梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．

证明　 ∵梯形ABCD中，AD∥BC，

∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰．

∴　 AB，CD必定相交于一点，

设ABCD＝M．

又∵ABα，CDβ，∴M∈α，且M∈β．∴M∈αβ．

又∵αβ＝l，∴M∈l，

即AB，CD，l共点．

说明：证明多条直线共点时，一般要应用公理2，这与证明多点共线是一样的．

4．空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，则这五个点最多可以确定　 7个　　 个平面 ．

3．对于空间三条直线，有下列四个条件：

①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；

③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．

其中，使三条直线共面的充分条件有　　　　　　　　　　　 (　 B　 )

1个　　　 2个　　　　 3个　　　　 4个

2．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是　　　　　 　　　(　 D　 )

1．、、表示不同的点，、表示不同的直线，、表示不同的平面，下列推理不正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 C　 )

，直线

，且不共线与重合

版权所有：()

版权所有：()

(四)巩固练习：

1．化简等于　 　(　 　)

2．已知，则 ．

3．在中，，则 ．