(三)例题分析：

例1．求函数的最大值和最小值．

解：．

当，，当，．

例2．求函数的最大、最小值．

解：原函数可化为：，

令，

则，∴．

∵，且函数在上为减函数，∴当时，即时，；当时，即时，．

例3．求下列各式的最值：

(1)已知，求函数的最大值；

(2)已知，求函数的最小值．

解：(1)，当且仅当时等号成立．

故．

(2)设，则原函数可化为，在上为减函数，∴当时，．

说明：型三角函数求最值，当，时，不能用均值不等式求最值，适宜用函数在区间内的单调性求解．

例4．求函数的最小值．

解：原式可化为，引入辅助角，，得

，∴，由，

得或．

又∵，∴，且，故．∴，故．

例5．《高考计划》考点32，智能训练10：已知，则的最大值是　　　　　 ．

解：∵，

∴，故当时，．

(二)主要方法：①配方法；②化为一个角的三角函数；③数形结合法；④换元法；⑤基本不等式法．

(一)主要知识：求三角函数的最值，主要利用正、余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型处理：

①，设化为一次函数在闭区间上的最值求之；

②，引入辅助角，化为求解方法同类型①；

③，设，化为二次函数在上的最值求之；

④，设化为二次函数在闭区间上的最值求之；

⑤，设化为用法求值；当时，还可用平均值定理求最值；

⑥根据正弦函数的有界性，即可分析法求最值，还可“不等式”法或“数形结合”．

18．已知一个数列的各项是或．首项为，且在第个和第个之间有个，即，…．记数列的前项的和为．

(Ⅰ)试问第个为该数列的第几项？

(Ⅱ)求；

(Ⅲ)；

(Ⅳ)是否存在正整数，使得？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由．

解：将第k个1与第k+1个1前的3记为第k对，即(1，3)为第1对，共1+1=2项；(1，3，3，3)为第2对，共1+(2×2-1)=4项；为第k对，共1+(2k-1)=2k项；…．故前k对共有项数为2+4+6+…+2k=k(k+1)．

　 (Ⅰ)第2004个1所在的项为前2003对所在全部项的后1项，即为2003(2003+1)+1=4014013(项)．

　 (Ⅱ)因44×45=1980，45×46=2070，故第2004项在第45对内，从而a₂₀₀₄=3．

　 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知，前2004项中共有45个1，其余1959个数均为3，于是S₂₀₀₄=45+3×1959=5922．

　 (Ⅳ)前k对所在全部项的和为　　 S_k(k+1)=k+3[k(k+1)-k]=3k²+k．

易得，S_25(25+1)=3×25²+25=1900，S_26(26+1)=3×26²+26=2054，S₆₅₁=1901，且自第652项到第702项均为3，而2004-1901=103不能被3整除，故不存在m，使S_m=2004．

已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数k，对任意x∈D(D为函数的定义域)，等式f(kx)=+f(x)成立．

　 (Ⅰ)一次函数f(x)= ax+b(a≠0)是否属于集合M？说明理由；

　 (Ⅱ)设函数f(x)=(a＞1)的图象与y=x的图象有公共点，试证明：

　　　　 f(x)=∈M．

(Ⅰ)若一次函数f(x)∈M，即存在非零常数k，使得等式akx+b=+ ax+b，也就是a(k-1)x=成立．显然对于任意x∈D=R，a(k-1)x=不能恒成立，故f(x)= ax+bÏM．

　 (Ⅱ)如图，设函数f(x)=(a＞1)的图象与函数y=x的图象的公共点为B(t，t)，则显然t＞1．在x∈(1，t)上，函数f(x)=(a＞1)有定义，故在函数f(x)=(a＞1，x∈(1，t))的图象即弧AB上，必存在点C(k，)，使等式成立，其中1＜k＜t．

　　 于是，f(kx)=，故f(x)=∈M．

版权所有：()

版权所有：()

17．(本小题满分10分)对于函数，若存在R，使成立，则称为的不动点，如果函数)有且只有两个不动点，，且.

　　 (1)求函数的解析式；

　　 (2)已知各项不为零的数列满足，求数列通项；

　　 (3)如果数列满足，求证当时，恒有成立.

解：(1)设

　　 　　　　　　　　　　　　2分

　　　 由

　　　 又，　　　 　　　　　4分

(2)由已知

　　 相减得　　　　　　　　　　　　　 6分

当n=1时，，若

　　 这与矛盾，　　　　　　　　　　 9分

(3)由，

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11分

　　 若成立；

　　 若

　　 在时单调递减.

　，可知，在时成立14分

16．(本小题满分8分)已知锐角三角形中，，。

　 (Ⅰ)求证：；

　 (Ⅱ)设，求边上的高。

(Ⅰ)证明：

所以

(Ⅱ)解：，

　　 即　 ，将代入上式并整理得

解得，舍去负值得，

　设AB边上的高为CD.

则AB=AD+DB=

由AB=3，得CD=2+.　 所以AB边上的高等于2+.

15．(本小题满分8分)已知　 且满足.

　　 (1)求证；

　　 (2)求的最大值，并求当取得最大值时，的值.

解：(1)　 2分

　 4分

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5分

　　 (2)　　　　　　 7分

　　 　　　　　　　　　　　　　 9分

　　 当且仅当取最大值，最大值为　

　　 此时　　　　　　　　 12分

14．某品牌彩电为了打开市场，促进销售，准备对某特定型号的彩电降价，现有四种降价方案：

　　 方案①：先降价，再降价；

　　 方案②：先降价，再降价；

　　 方案③：先降价，再降价；

　　 方案④：一次性降价。

　　 其中，，且。

　　 上述四种方案中，降价幅度最小的是方案________③_____________.

13．如果的值是　　 　　　．

12．设正数数列{a_n}前n项和为S­_n，且存在正数t，使得对所有自然数n，有，则通过归纳猜测可得到S_n=　　 n²t　　　 .