30. (2011贵州安顺，23，10分)如图，已知反比例函数的图像经过第二象限内的点A(－1，m)，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2．若直线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数的图象上另一点C(n，一2)．

　　 ⑴求直线y=ax+b的解析式；

⑵设直线y=ax+b与x轴交于点M，求AM的长．

[答案](1)∵点A(-1，m)在第二象限内，∴AB = m，OB = 1，∴

即：，解得，∴A (-1,4)，

∵点A (-1,4)，在反比例函数的图像上，∴4 =，解得，

∵反比例函数为，又∵反比例函数的图像经过C(n，)

∴，解得，∴C (2,-2)，

∵直线过点A (-1,4)，C (2,-2)

∴　 解方程组得　

∴直线的解析式为 ；

(2)当y = 0时，即解得，即点M(1，0)

在中，∵AB = 4，BM = BO +OM = 1+1 = 2，

由勾股定理得AM=．

29. (2011重庆市潼南,23,10分)如图, 在平面直角坐标系中，一次函数(k≠0)的图象与反比例函数

(m≠0)的图象相交于A、B两点．

求：(1)根据图象写出A、B两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式；

(2)根据图象写出：当x为何值时，一次函数值大于反比例函数值.

[答案]解：(1)由图象可知：点A的坐标为(2，)

　　　　　　　　　　　 点B的坐标为(-1，-1)　　 --------------2分

∵反比例函数(m≠0)的图像经过点(2，)

∴ m=1

∴反比例函数的解析式为:　　　　　 ---------------------4分

∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(2，)点B(-1，-1)

∴

解得：k=　　 　b=-

∴一次函数的解析式为　　　　 ----------------------6分

(2)由图象可知：当x＞2 或 -1＜x＜0时一次函数值大于反比例函数值 --------10分

28. (20011江苏镇江,28,10分)在平面直角坐标系xOy中,直线过点A(1,0)且与y轴平行,直线过点B(0,2)且与x轴平行,直线与相交于P.点E为直线一点,反比例函数(k>0)的图象过点E且与直线相交于点F.

(1)若点E与点P重合,求k的值;

(2)连接OE、OF、EF.若k>2,且△OEF的面积为△PEF的面积2倍,求点E的坐标;

(3)是否存在点E及y轴上的点M,使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等?若存在,求点E的坐标;若不存在,请说明理由.

[答案]

(1)k=1×2=2.

(2)当k>2时，如图，点E、F分别在P点的右侧和上方过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于G，则四边形OCGD为矩形。

∵　 PF⊥PE.

∴

四边形OCGD为矩形

∴

=2

=

解得k=6或2.因为k=2时,E、F重合,所以k=6.

所以E点的坐标为(3,2)

(3)存在点E及y轴上的点M,使得△MEF与△PEF全等

①当k<2时，如图，只可能△MEF≌△PEF。

作FH⊥y轴于H，

△FHM∽△MBE得：.

∵FH=1,EM=PE=1-,FM=PF=2-k

∴,BM=,

在Rt△MBE中，由勾股定理得,

∴,解得k=,此时E点的坐标为(，2)

②当k>2时，如图

只可能只可能△MEF≌△PEF，作作FQ⊥y轴于Q，

△FQM∽△MBE得：

∵FQ=1,EM=PF=k-2,FM=PE=,

∴,BM=2,

在Rt△MBE中，由勾股定理得,

解得k=或0，但k=0不符合题意，所以k=。

此时E点的坐标为(，2)，符合条件的E点坐标为

(，2)和(，2)。

27. (2011湖北襄阳，18，5分)

已知直线与双曲线交于点P(－1，n).

(1)求m的值；

(2)若点，在双曲线上，且，试比较，的大小.

[答案]

(1)∵点P(－1，n)在直线上，∴.····· 1分 　　

∵点P(－1，n)在双曲线上，∴，即m＝2. ·· 3分　　

(2)∵，∴当x＜0时，y随x的增大而增大

又∵点，在双曲线上，且，

∴＜.　 5分

26. (2011广东肇庆，23，8分)如图，一次函数的图象经过点B(，0)，且与反比例函数(为不等于0的常数)的图象在第一象限交于点(1，)．求：

(1)一次函数和反比例函数的解析式；

(2)当时，反比例函数的取值范围．

[答案]解：(1)将点B(，0)代入得：　 ∴b＝1.　

∴一次函数的解析式是　

∵点(1，)在一次函数的图象上，将点(1，)代入得：

＝1+1，∴＝2　　　

即点的坐标为(1，2)，代入得：，解得：　　

∴反比例函数的解析式是　

(2)对于反比例函数，当时，随的增大而减少，

而当时，；当时，　　　

∴当时，反比例函数的取值范围是　

25. (2011湖南衡阳，25，8分)如图，已知A，B两点的坐标分别为A(0，)，B(2，0)直线AB与反比例函数的图像交与点C和点D(-1，a)．

(1)求直线AB和反比例函数的解析式；

(2)求∠ACO的度数；

(3)将△OBC绕点O逆时针方向旋转α角(α为锐角)，得到△OB′C′，当α为多少度时OC′⊥AB，并求此时线段AB′的长．

[解](1)设直线AB的解析式为，将A(0，)，B(2，0)代入解析式中，得，解得．∴直线AB的解析式为；将D(-1，a)代入得，∴点D坐标为(-1，)，将D(-1，)代入中得，∴反比例函数的解析式为．

(2)解方程组得，，∴点C坐标为(3，)，

过点C作CM⊥轴于点M，则在Rt△OMC中，

，，∴，∴，

在Rt△AOB中，=，∴，

∴∠ACO=．

(3)如图，∵OC′⊥AB，∠ACO=30°，

∴= ∠COC′=90°－30°=60°，∠BOB′==60°，

∴∠AOB′=90°－∠BOB′=30°，∵ ∠OAB=90°－∠ABO=30°，

∴∠AOB′=∠OAB，

∴AB′= OB′=2．

答：当α为60度时OC′⊥AB，并求此时线段AB′的长为2．

24. (2011四川绵阳，21，12)右图中曲线是反比例函数y=的图像的一支。

(1)这个反比例函数图象的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？

(2)若一次函数y=的图像与反比例函数图像交于点A，与x交于B，△AOB的面积为2，求n的值。

[答案](1)第四象限，n＜-7

　　　 (2)∵y=

_{与x轴的交点是y=0，∴B点坐标为(2，0)又∵△AOB面积是2 ，∴A点纵坐标是2，代入}y=

可得A点横从标是-1，所以n+7= -2,n= -9

23. (2011山东临沂，24，10分)如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A(2，3)，B(－3，n)两点．

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集______________；

(3)过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S_△ABC．

[解](1)∵点A(2，3)在y＝的图象上，

∴m＝6，……………………………………………………………………………( 1分)

∴反比例函数的解析式为y＝，

∴n＝＝－2，……………………………………………………………………(2分)

∵点A(2，3)，B(－3，－2)在y＝kx+b的图象上，

∴

∴

∴一次函数的解析式为y＝x+1．…………………………………………………(4分)

(2)－3＜x＜0或x＞2；……………………………………………………………(7分)

(3)方法一：设AB交x轴于点D，则D的坐标为(－1,0)，

∴CD＝2，………………………………………………………………………( 8分)

∴S_△ABC＝S_△BCD+S_△ACD

＝×2×2+×2×3＝5．……………………………………………( 10分)

方法二：以BC为底，则BC边上的高为3+2＝5，…………………( 8分)

∴S_△ABC＝×2×5＝5．………………………………………………( 10分)

22. (2011江苏南通，28，14分)(本小题满分14分)

如图，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线y＝(x＞0)交于点B(2，1)，过点P(p，p－1)(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线y＝(x＞0)和y＝－(x＜0)于M，N两点.

(1)求m的值及直线l的解析式；

(2)若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；

(3)是否存在实数p，使得S_△AMN＝4S_△APM？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由.

[答案](1)∵点B(2，1)在双曲线y＝上，

∴，得m＝2.

设直线l的解析式为y＝kx+b

∵直线l过A(1，0)和B(2，1)

∴，解得

∴直线l的解析式为y＝x－1.

(2) 证明：当x＝p时，y＝p－1，点P(p，p－1)(p＞1)

在直线l上，如图.

∵P(p，p－1)(p＞1)在直线y＝2上，

∴p－1＝2，解得p＝3

∴P(3，2)

∵PN∥x轴，∴P、M、N的纵坐标都等于2

把y＝2分别代入双曲线y＝和y＝_，得M(1,2),N(-1,2)

∴，即M是PN的中点，

同理：B是PA的中点，

∴BM∥AN

∴△PMB∽△PNA.

(3)由于PN∥x轴，P(p，p－1)(p＞1)，

　　　　 ∴M、N、P的纵坐标都是p－1(p＞1)

　　　　 把y＝p－1分别代入双曲线y＝(x＞0)和y＝－(x＜0)，

得M的横坐标x＝和N的横坐标x＝－(其中p＞1)

∵S_△AMN＝4S_△APM且P、M、N在同一直线上，

∴,得MN=4PM

即＝4(p－)，整理得：p²－p－3＝0，

解得：p＝

由于p＞1，∴负值舍去

∴p＝

经检验p＝是原题的解，

∴存在实数p，使得S_△AMN＝4S_△APM，

p的值为.

21. (2011江西南昌，19，6分)如图，四边形ABCD为菱形，已知A(0，4)，B(-3，0)。

⑴求点D的坐标；

⑵求经过点C的反比例函数解析式.

[答案](1)根据题意得AO=4，BO=3，∠AOB=90°，

所以AB===5.

因为四边形ABCD为菱形，所以AD=AB=5，

所以OD=AD-AO=1,

因为点D在y轴负半轴，所以点D的坐标为(-1,0).

(2)设反比例函数解析式为.

因为BC=AB=5，OB=3,

所以点C的坐标为(-3，-5).

因为反比例函数解析式经过点C,

所以反比例函数解析式为.