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如图1和图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，cos∠ABC＝
．
探究
在如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝________，AC＝________，△ABC的面积S△ABC＝________．
拓展
如图2，点D在AC上(可与点A，B重合)，分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足为E，F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n．(当点D与点A重合时，我们认为S△ABC＝0．
(1)用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；
(2)求(m＋n)与x的函数关系式，并求(m＋n)的最大值和最小值．
(3)对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．
发现
请你确定一条直线，使得A，B，C三点到这条直线的距离之和最小(不必写出过程)，并写出这个最小值．
某同学探究画直角三角形中锐角的平分线，方法如下：如图，在斜边AB上取一点E，使BE＝BC，过点E作DE⊥AB，与AC交于点D，则BD为∠ABC的平分线，这种画法正确吗？并说明理由．
探究问题
(1)阅读理解：
①如图1，在△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA＋PB＋PC的值为△ABC的费马距离．
②如图2，若四边形ABCD的四个顶点在同一个圆上，则有AB·CD＋BC·AD＝AC·BD．此为托勒密定理．
(2)知识迁移：
①请你利用托勒密定理，解决如下问题：
如图3，已知点P为等边△ABC外接圆的弧BC上任意一点．求证：PB＋PC＝PA．
②根据(2)①的结论，我们有如下探寻△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120º)的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图4，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；
第二步：在弧BC上取一点P0，连接P0A、P0B、P0C、P0D．
易知P0A＋P0B＋P0C＝P0A＋(P0B＋P0C)＝P0A＋ ；
第三步：请你根据(1)①中定义，在图4中找出△ABC的费马点P，线段 的长度即为△ABC的费马距离．
(3)知识应用：
2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难．为解决老百姓饮水问题，解放军某部到云南某地打井取水．
已知三村庄A、B、C构成了如图5所示的△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120º)，现选取一点P打水井，使水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小．求输水管总长度的最小值．
如图，在四边形A8CD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME＝∠CNE(不需证明)．
(温馨提示：在图中，连结BD，取BD的中点H，连结HE、HF，根据三角形中位线定理，可证得HE＝HF，从而∠HFE＝∠HEF，再利用平行线的性质，可证得∠BME＝∠CNE．)
问题一：如图，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论．
问题二：如图，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC＝600，连结GD，判断△AGD的形状并证明．
已知，在等腰△ABC中，AB＝AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连结DE，DE所在直线交直线BC于点M.
请探究：
（1） 如图①，当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD＝CE，
请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论；
（2） 如图②，当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD＝CE，
则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由。
（3）如图③，当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A、B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝mBD，（m＞1），请你判断线段MD与线段ME的数量关系，并说明理由。
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