摘要：工厂内两条人行道.它们长度之比为3:8.工厂买了一批树苗.栽在人行道两旁.如每隔6米栽一株则缺少20棵.如每隔7米栽一株.则剩余68棵.问这两条人行道各长多少米?

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23、平面内两条直线l₁∥l₂，它们之间的距离等于a．一块正方形纸板ABCD的边长也等于a．现将这块硬纸板如图所示放在两条平行线上．
（1）如图1，将点C放置在直线l₂上，且AC⊥l₁于O，使得直线l₁与AB、AD相交于E、F，证明：△AEF的周长等于2a；
请你继续完成下面的探索：
（2）如图2，若绕点C转动正方形硬纸板ABCD，使得直线l₁与AB、AD相交于E、F，试问△AEF的周长等于2a还成立吗？并证明你的结论；
（3）如图3，将正方形硬纸片ABCD任意放置，使得直线l₁与AB、AD相交于E、F，直线l₂与BC、CD相交于G，H，设△AEF的周长为m₁，△CGH的周长为m₂，试问m₁，m₂和a之间存在着什么关系？试证明你的结论．

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附加题：
（1）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD=BD=4，PC=6，那么CD的长是

（2）阅读材料：如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=

ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．

解答下列问题：
如图，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．
①求抛物线和直线AB的解析式；
②点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S_△CAB；
③点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S_△PAB=

S_△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

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（1）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD=BD=4，PC=6，那么CD的长是______．

（2）阅读材料：如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法： $数学公式$ ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．

解答下列问题：
如图，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．
①求抛物线和直线AB的解析式；
②点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S_△CAB；
③点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S_△PAB= $数学公式$ S_△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

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平面内两条直线∥,它们之间的距离等于a，一块正方形纸板的边长也等于a．现将这块硬纸板如图所示放在两条平行线上．

(1)如图1，将点C放置在直线上, 且于O, 使得直线与、相交于E、F．求证: ①BE=OE ②的周长等于；

(2)如图2，若绕点C转动正方形硬纸板,使得直线与、相交于E、F，试问的周长等于还成立吗？并证明你的结论；

(3)如图3，将正方形硬纸片任意放置,使得直线与、相交于E、F,直线与、CD相交于G,H,设AEF的周长为,CGH的周长为,试问,

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平面内两条直线∥,它们之间的距离等于a，一块正方形纸板的边长也等于a．现将这块硬纸板如图所示放在两条平行线上．

(1)如图1，将点C放置在直线上,且于O,使得直线与、相交于E、F．求证:①BE="OE" ②的周长等于；
(2)如图2，若绕点C转动正方形硬纸板,使得直线与、相交于E、F，试问的周长等于还成立吗？并证明你的结论；

(3)如图3，将正方形硬纸片任意放置,使得直线与、相交于E、F,直线与、CD相交于G,H,设AEF的周长为,CGH的周长为,试问,和之间存在着什么关系?试直接写出你的结论（不需证明）．

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