摘要：15．如图所示.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中.点E为棱CC1上的动点． (1)求证:A1E⊥BD, (2)当点E恰为棱CC1上的中点时.求证:平面A1BD⊥平面EBD, (3)在棱CC1上是否存在一个点E.使二面角A1-BD-E的大小为45°?如果存在.试确定点E在棱CC1上的位置,如果不存在.请说明理由． 解析:(1)证明:连结AC.则BD⊥AC 又∵EC⊥平面ABCD. AA1⊥平面ABCD. ∴AC是A1E在平面ABCD上的射影. 由三垂线定理知:A1E⊥BD. (2)证明:设AC∩BD＝O.连结A1O.EO. ∵A1D＝A1B.∴A1O⊥BD.同理可证EO⊥BD. ∴∠A1OE是二面角A1-BD-E的平面角． 设正方体的棱长为2a.由平面几何知识.得 A1O＝a.EO＝a.A1E＝3a. ∴A1E2＝A1O2+EO2. ∴∠A1OE＝90°. 即:平面A1BD⊥平面EBD. (3)在正方体ABCD-A1B1C1D1中.假设棱CC1上存在点E.使二面角A1-BD-E的大小为45°. 由(2)知∠A1OE＝45°. 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2a.EC＝x. 由平面几何知识.得:EO＝.A1O＝a. A1E＝. ∴在△A1OE中.由余弦定理得: A1E2＝A1O2+EO2-2A1O·EO·cos∠A1OE 即:x2-8ax-2a2＝0(0≤x≤2a).解得:x＝a. ∵(4+3)a>2a.(4-3)a<0. ∴棱CC1上不存在满足条件的点E.

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