Question

如图所示，已知正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为D₁C₁、B₁C₁的中点，AC∩BD＝P，A₁C₁∩EF＝Q．

求证：

(1)D、B、F、E四点共面；

(2)若A₁C交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵EF是△D1B1C1的中位线　∴EF∥B1D1． 　　在正方体AC1中，B1D1∥BD　∴EF∥BD 　　∴EF、BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面． 　　B正方体AC1中，设A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β． 　　∵Q∈A1C1　∴Q∈α，又Q∈EF　∴Q∈β，则Q是α与β的公共点．同理，P点也是α与β的公共点　∴α∩β＝PQ 　　又A1C∩β＝R　∴R∈A1C　∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ，故P、Q、R三点共线．