摘要：15．如图.四棱锥P-ABCD中.底面ABCD为矩形.PD⊥底面ABCD.AD＝PD.E.F分别为CD.PB的中点． (1)求证:EF⊥平面PAB, (2)设AB＝BC.求AC与平面AEF所成的角的大小． 解析:解法一:(1)证明:连结EP. ∵PD⊥底面ABCD.DE在平面ABCD内.∴PD⊥DE.又CE＝ED.PD＝AD＝BC. ∴Rt△BCE≌Rt△PDE.∴PE＝BE. ∵F为PB中点.∴EF⊥PB. 由三垂线定理得PA⊥AB. ∴在Rt△PAB中PF＝AF.又PE＝BE＝EA. ∴△EFP≌△EFA.∴EF⊥FA. ∵PB.FA为平面PAB内的相交直线.∴EF⊥平面PAB. (2)解:不妨设BC＝1.则AD＝PD＝1. AB＝.PA＝.AC＝. ∴△PAB为等腰直角三角形.且PB＝2. F为其斜边中点.BF＝1.且AF⊥PB. ∵PB与平面AEF内两条相交直线EF.AF都垂直. ∴PB⊥平面AEF. 连结BE交AC于G.作GH∥BP交EF于H.则GH⊥平面AEF.∠GAH为AC与平面AEF所成的角． 由△EGC∽△BGA.可知EG＝GB.EG＝EB. AG＝AC＝.由△EGH∽△EBF. 可知GH＝BF＝. ∴sin∠GAH＝＝. ∴AC与平面AEF所成的角为arcsin. 解法二:以D为坐标原点.DA的长为单位长.建立如图所示的直角坐标系． (1)证明:设E(a,0,0).其中a>0.则C(2a,0,0).A..B(2a,1,0).P.F(a..). ＝(0..).＝(2a,1.-1).＝(2a,0,0)． ∵·＝0.∴EF⊥PB. ∵·＝0.∴EF⊥AB. 又PB⊂平面PAB.AB⊂平面PAB.PB∩AB＝B. ∴EF⊥平面PAB. (2)解:由AB＝BC.得a＝. 可得＝. cos〈.〉＝＝. 异面直线AC.PB所成的角为arccos. ＝(.-.).∴·＝0.PB⊥AF. 又PB⊥EF.EF.AF为平面AEF内两条相交直线. ∴PB⊥平面AEF. AC与平面AEF所成的角为-arccos.即arcsin.

网址：http://m.1010jiajiao.com/timu3_id_574569[举报]