摘要：11．在平面直角坐标系xOy中.直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A.B两点． (1)如果直线l过抛物线的焦点.求·的值, (2)如果·＝-4.证明直线l必过一定点.并求出该定点． 解:(1)由题意:抛物线焦点为(1,0). 设l:x＝ty+1.代入抛物线y2＝4x. 消去x得y2-4ty-4＝0. 设A(x1.y1).B(x2.y2). 则y1+y2＝4t.y1y2＝-4. ∴·＝x1x2+y1y2＝(ty1+1)(ty2+1)+y1y2 ＝t2y1y2+t(y1+y2)+1+y1y2 ＝-4t2+4t2+1-4＝-3. (2)设l:x＝ty+b代入抛物线y2＝4x.消去x得 y2-4ty-4b＝0.设A(x1.y1).B(x2.y2). 则y1+y2＝4t.y1y2＝-4b. ∴·＝x1x2+y1y2＝(ty1+b)(ty2+b)+y1y2 ＝t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2 ＝-4bt2+4bt2+b2-4b＝b2-4b. 令b2-4b＝-4.∴b2-4b+4＝0.∴b＝2. ∴直线l过定点(2,0)． ∴若·＝-4.则直线l必过一定点．

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